Circunferencia

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Halla el centro y el radio de una circunferencia de ecuación 36x^2 + 36y^2-36x+24y-23 = 0

SOLUCIÓN

En la ecuación general de la circunferencia
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
se puede obtener centro (a,b) y radio r con estas relaciones:

D=-2a
E=-2b
F=a^2+b^2-r^2

Para ello, los coeficientes de x^2 e y^2 deben valer 1.
En este ejercicio 36x^2 + 36y^2-36x+24y-23 = 0 valen 36,
entonces debemos dividir todo por 36

36x^2 + 36y^2-36x+24y-23 = 0


\frac{36x^2}{36} + \frac{36y^2}{36}-\frac{36x}{36}+\frac{24y}{36}-\frac{23}{36} = \frac{0}{36}


x^2 + y^2-x+\frac{2}{3}y-\frac{23}{36} = 0

Ya tenemos la ecuación en «forma normal» y podemos aplicar las relaciones anteriores:

D=-2a \longrightarrow -1=-2a \longrightarrow a =\frac{1}{2}
E=-2b \longrightarrow \frac{2}{3} =-2b \longrightarrow \frac{-1}{3}=b
F=a^2+b^2-r^2 \longrightarrow -\frac{23}{36} = \left( \frac{1}{2} \right)^2+ \left( \frac{-1}{3} \right)^2 - r^2
r^2 = \frac{1}{4} +\frac{1}{9} +\frac{23}{36} =\frac{36}{36}=1 \Rightarrow r=1

Por tanto:
– el centro es \left( \frac{1}{2}, \frac{-1}{3} \right)
– el radio es 1