Ecuaciones de la circunferencia

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia (r) de un punto (C) llamado centro.
A esa distancia (r) le llamamos radio.

Ecuación canónica de la circunferencia

Vamos a deducir la ecuación de la circunferencia.
Dibujamos una circunferencia de centro C(a,b) y radio r.
Dibujamos un punto cualquiera P(x,y) de la circunferencia
Ecuación de la circunferencia
En el triángulo rectángulo de la imagen aplicamos Pitágoras

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2


Es la ecuación canónica (o reducida) de la circunferencia de centro (a,b) y radio r

Otra forma de deducir la ecuación de la circunferencia es mediante distancias:
d(C,P) = r
|\vec{CP}| = r
\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} = r
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Ecuación general de la circunferencia

A partir de la ecuación canónica, si quitamos paréntesis y ordenamos la expresión, obtendríamos:
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
x^2+a^2-2ax+y^2+b^2-2by=r^2
x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0
Si hacemos los cambios:
D=-2a
E=-2b
F=a^2+b^2-r^2
podemos expresarla como:

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0


lo que se conoce como ecuación general de la circunferencia