Ecuaciones de la circunferencia

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La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia (r) de un punto (C) llamado centro.
A esa distancia (r) le llamamos radio.

Ecuación canónica de la circunferencia

Vamos a deducir la ecuación de la circunferencia.
Dibujamos una circunferencia de centro C(a,b) y radio r.
Dibujamos un punto cualquiera P(x,y) de la circunferencia

Ecuación de la circunferencia
Deducción de la ecuación de una circunferencia

En el triángulo rectángulo de la imagen aplicamos Pitágoras

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2


Es la ecuación canónica (o reducida) de la circunferencia de centro (a,b) y radio r

Otra forma de deducir la ecuación de la circunferencia es mediante distancias:
d(C,P) = r
|\vec{CP}| = r
\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} = r
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Ecuación general de la circunferencia

A partir de la ecuación canónica, si quitamos paréntesis y ordenamos la expresión, obtendríamos:
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
x^2+a^2-2ax+y^2+b^2-2by=r^2
x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0
Si hacemos los cambios:
D=-2a
E=-2b
F=a^2+b^2-r^2
podemos expresarla como:

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0


lo que se conoce como ecuación general de la circunferencia