Circunferencia por dos puntos y tangente a una recta

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Dados los puntos A(0,2) y B(0,-2), determina la ecuación general de la circunferencia que pasa por A y B, y además, es tangente a la recta y=3x + 2

SOLUCIÓN

Necesitamos recordar dos conceptos:

– La circunferencia pasa por los puntos A y B. Si a la recta que pasa por A y B le trazamos una perpendicular por el punto medio del segmento AB, dicha perpendicular pasa por el centro de la circunferencia.

– La perpendicular a una recta tangente a una circunferencia por el punto de tangencia, pasa por el centro de la circunferencia.

El punto de corte de las dos rectas nos da el centro de la circunferencia.

Una vez determinada la estrategia a seguir, nos ponemos a hacer los cálculos

Con A(0,2) y B(0,-2) , calculamos el punto medio del segmento \overline{AB}

M \left( \frac{0+0}{2}, \frac{2-2}{2} \right) = (0,0)

Ahora necesitamos un vector \vec{u} perpendicular al vector \vec{AB}

\vec{AB} = (0,-4) \longrightarrow \vec{u}=(4,0)

Con el vector director \vec{u}=(4,0) y el punto (0,0) construimos la recta, con la ecuación continua por ejemplo:

\frac{x-0}{4}=\frac{y-0}{0} \longrightarrow \textcolor{red}{y=0}

La recta \textcolor{olive}{y=3x+2} contiene al punto (0,2), que también es punto de la circunferencia, por tanto ese es el punto de tangencia.

Debemos calcular ahora una perpendicular a y=3x+2 por el punto (0,2) y obtendríamos la recta x+3y=6

Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones de las dos rectas para encontrar el corte (que será el Centro de la circunferencia)

\left\{ \begin{array}{r} y=0\\ x+3y=6 \end{array} \right. \longrightarrow x=6\: ; \: y=0
Por tanto el centro es el punto C(6,0)

Calculamos el radio como la distancia de C hasta A
r = d(C,A) = +\sqrt{(-6)^2+2^2} = +\sqrt{40}

Con el Centro y radio, ya podemos expresar la ecuación de la circunferencia

\fbox{(x-6)^2+y^2=40}