Discutir sistema con parámetro 4530

sistema_con_parámetros

Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

$\left. \begin{array}{ccc} 2x+ay+z & = & 2 \\ x+y+z & = & 0 \\ x+y+az & = & a - 1 \end{array} \right\}$

a) Discute el sistema en función de los valores del parámetro
b) Resuelve el sistema para

SOLUCIÓN

En primer lugar expresamos la matriz de los coeficientes (A) y la matriz ampliada (A*)

$A|A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & a &1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & a & a - 1 \end{array} \right)$

Para discutir el sistema tenemos que calcular los rangos de ambas matrices (en función del parámetro) y aplicar el Teorema de Rouché.

La mejor estrategia suele ser calcular el determinante de A (por la regla de Sarrus u otro procedimiento) y ver para qué valores del parámetro es cero.

$|A| = \left| \begin{array}{ccc} 2 & a &1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a \end{array} \right| = -a^2+3a-2$

$|A|=0 \Longleftrightarrow -a^2+3a-2 = 0 \Longleftrightarrow a=1$ ;

Por tanto, las opciones excluyentes que tenemos que consiferar son:

– $a \neq 1$ y $a \neq 2$
–
–

Caso $\fbox{a \neq 1 \: ; \:a \neq 2}$

(1) Si $a \neq 1$ y $a \neq 2 \longrightarrow |A| \neq 0 \longrightarrow rg(A)=3$

(2) porque A* incluye a A y porque no puede ser mayor que 3 al tener 3 filas
(3) número de incógnitas = 3

$rg(A)=rg(A^*)=num. \: incog. \xrightarrow{T.R.} \fbox{SCD}$

Caso $\fbox{a = 2}$

Si $a = 2 \longrightarrow |A| = 0 \longrightarrow rg(A)<3$

Comprobemos si el rg(A) vale 2, para ello expresamos las matrices sustituyendo "a" por "2"

$A|A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & \textcolor{blue}{2} &\textcolor{blue}{1} & 2 \\ 1 & \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{1} & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \end{array} \right) \quad \left| \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right| = 1 \neq 0 \longrightarrow \textcolor{blue}{rg(A)=2}$

Calculamos ahora el rango de A*

$\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 &2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right| = 3 \neq 0 \longrightarrow \textcolor{blue}{rg(A^*)=3}$

$rg(A) < rg(A^*) \xrightarrow{T.R.} \fbox{SI}$

Caso $\fbox{a = 1}$

Si $a = 1 \longrightarrow |A| = 0 \longrightarrow rg(A)<3$

Comprobemos si el rg(A) vale 2, para ello expresamos las matrices sustituyendo "a" por "1"

$A|A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} \textcolor{blue}{2} &\textcolor{blue}{1} & 1 & 2 \\ \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{1} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right) \quad \left| \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right| = 1 \neq 0 \longrightarrow \textcolor{blue}{rg(A)=2}$

Calculamos ahora el rango de A*
Como las dos últimas filas son iguales, no hace falta hacer cálculos para saber que $\textcolor{blue}{rg(A^*)=2}$

$rg(A)=rg(A^*) < num. \: incog. \xrightarrow{T.R.} \fbox{SCI}$

b) Resolvemos el sistema para el caso , que hemos comprobado que es Compatible Indeterminado.

El rango de A lo habíamos obtenido con los números marcados de azul
$A|A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} \textcolor{blue}{2} &\textcolor{blue}{1} & 1 & 2 \\ \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{1} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right)$

Podemos eliminar la fila 3ª que queda fuera de lo azul y pasamos a la derecha la 3ª columna que también queda fuera de lo azul

$\left\{ \begin{array}{l} 2x + y +z = 2\\ x + y + z = 0 \end{array} \right. \: \longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x + y = 2-z\\ x + y = -z \end{array} \right.$