Discutir sistema con parámetro 4530

Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

\left.
\begin{array}{ccc}
2x+ay+z & = & 2 \\
x+y+z & = & 0 \\
x+y+az & = & a - 1 
\end{array}
\right\}

a) Discute el sistema en función de los valores del parámetro a
b) Resuelve el sistema para a=1

SOLUCIÓN

En primer lugar expresamos la matriz de los coeficientes (A) y la matriz ampliada (A*)

A|A^* = \left(
\begin{array}{ccc|c}
2 & a &1 & 2 \\
1 & 1 & 1  & 0 \\
1 & 1 & a & a - 1 
\end{array}
\right)

Para discutir el sistema tenemos que calcular los rangos de ambas matrices (en función del parámetro) y aplicar el Teorema de Rouché.

La mejor estrategia suele ser calcular el determinante de A (por la regla de Sarrus u otro procedimiento) y ver para qué valores del parámetro es cero.

|A| = \left|
\begin{array}{ccc}
2 & a &1  \\
1 & 1 & 1   \\
1 & 1 & a 
\end{array}
\right| = -a^2+3a-2

|A|=0 \Longleftrightarrow -a^2+3a-2 = 0 \Longleftrightarrow a=1 ; a=2

Por tanto, las opciones excluyentes que tenemos que consiferar son:

- a \neq 1 y a \neq 2
- a =1
- a=2

Caso \fbox{a \neq 1 \: ; \:a \neq 2}

(1) Si a \neq 1 y a \neq 2 \longrightarrow |A| \neq 0 \longrightarrow rg(A)=3

(2) rg(A^*)=3 porque A* incluye a A y porque no puede ser mayor que 3 al tener 3 filas
(3) número de incógnitas = 3

rg(A)=rg(A^*)=num. \: incog. \xrightarrow{T.R.}  \fbox{SCD}

Caso \fbox{a = 2}

Si a = 2 \longrightarrow |A| = 0 \longrightarrow rg(A)<3

Comprobemos si el rg(A) vale 2, para ello expresamos las matrices sustituyendo "a" por "2"

A|A^* = \left(
\begin{array}{ccc|c}
2 & \textcolor{blue}{2} &\textcolor{blue}{1} & 2 \\
1 & \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{1}  & 0 \\
1 & 1 & 2 &  1 
\end{array}
\right) \quad \left|
\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{array}
\right| = 1 \neq 0 \longrightarrow \textcolor{blue}{rg(A)=2}

Calculamos ahora el rango de A*

\left|
\begin{array}{ccc}
2 & 1 &2  \\
1 & 1 & 0   \\
1 & 2 & 1 
\end{array}
\right| = 3 \neq 0 \longrightarrow  \textcolor{blue}{rg(A^*)=3}

rg(A) < rg(A^*) \xrightarrow{T.R.}  \fbox{SI}

Caso \fbox{a = 1}

Si a = 1 \longrightarrow |A| = 0 \longrightarrow rg(A)<3

Comprobemos si el rg(A) vale 2, para ello expresamos las matrices sustituyendo "a" por "1"

A|A^* = \left(
\begin{array}{ccc|c}
\textcolor{blue}{2} &\textcolor{blue}{1} & 1 & 2 \\
\textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{1} & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 &  0 
\end{array}
\right) \quad \left|
\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{array}
\right| = 1 \neq 0 \longrightarrow \textcolor{blue}{rg(A)=2}

Calculamos ahora el rango de A*
Como las dos últimas filas son iguales, no hace falta hacer cálculos para saber que \textcolor{blue}{rg(A^*)=2}

rg(A)=rg(A^*) < num. \: incog. \xrightarrow{T.R.}  \fbox{SCI}

b) Resolvemos el sistema para el caso a=1, que hemos comprobado que es Compatible Indeterminado.

El rango de A lo habíamos obtenido con los números marcados de azul
A|A^* = \left(
\begin{array}{ccc|c}
\textcolor{blue}{2} &\textcolor{blue}{1} & 1 & 2 \\
\textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{1} & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 &  0 
\end{array}
\right)

Podemos eliminar la fila 3ª que queda fuera de lo azul y pasamos a la derecha la 3ª columna que también queda fuera de lo azul

\left\{
\begin{array}{l}
 2x + y +z = 2\\
 x + y + z = 0
\end{array}
\right. \: \longrightarrow \left\{
\begin{array}{l}
 2x + y = 2-z\\
 x + y  = -z
\end{array}
\right.

Hacemos \textcolor{red}{z=t} y resolvemos el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

\left\{
\begin{array}{l}
 2x + y = 2-t\\
 x + y  = -t \: \longrightarrow \textcolor{blue}{x=-t-y}
\end{array}
\right.

2 \cdot (-t-y) + y = 2-t
-2t -2y + y = 2-t
  - y = 2-t+2t
  - y = t+2 \longrightarrow \textcolor{red}{y=-t-2}

x=-t-y \longrightarrow x=-t+t+2 \longrightarrow \textcolor{red}{x=2}

Por tanto las soluciones son:
\left\{
\begin{array}{l}
x= 2 \\
y=-t-2 \\
z=t
\end{array}
\right. \qquad t \in R