Ecuaciones irracionales

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Llamamos irracionales a las ecuaciones que presentan la incógnita dentro de un radicando. Ejemplo $3x = 4 + \sqrt{x+2}$

Para resolverlas debemos aislar la raíz a uno de los lados del signo igual y elevar ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz

$3x = 4 + \sqrt{x+2}$

$3x-4 = \sqrt{x+2}$

$(3x-4)^2 = \left( \cancel{\sqrt}{\overline{x+2}} \right)^{\cancel{2}}$

De esa forma la ecuación deja de ser irracional
$(3x)^2 + 4^2 -2 \cdot 3x \cdot 4 = x+2$
$9x^2 + 16 -24x = x+2$
$9x^2 -25x +14 = 0$
$\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{25+11}{18}=2\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-(-25)\pm \sqrt{(-25)^2-4 \cdot9\cdot14}}{2 \cdot9}= \frac{25\pm \sqrt{121}}{18}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{25-11}{18}=\frac{7}{9}\end{array}$
En las ecuaciones irracionales hay que verificar las soluciones, porque al elevar al cuadrado se pueden introducir soluciones falsas.

– Si $x=2$
$3x = 4 + \sqrt{x+2}$
$3 \cdot 2 = 4 + \sqrt{2+2}$
$6 = 4 + \sqrt{4}$
Cierto. La solución $\fbox{x=2}$ es CORRECTA

– Si $x=\frac{7}{9}$
$3x = 4 + \sqrt{x+2}$
$3 \cdot \frac{7}{9} = 4 + \sqrt{\frac{7}{9}+2}$
$\frac{21}{9} = 4 + \sqrt{\frac{16}{9}}$
$\frac{21}{9} = 4 + \frac{4}{3}$
$\frac{21}{9} \neq \frac{16}{3}$
FALSO. La solución $\frac{7}{9}$ NO ES CORRECTA

Ecuaciones irracionales con varias raíces

Si la ecuación tiene dos o más raíces, antes de nada debemos comprobar si las raíces son semejantes (para poderlas sumar / restar).
Ver ejemplo
Si no son semejantes hay que aislar primero una de ellas y elevar al cuadrado.
Una vez eliminada, se procede a asilar la siguiente raíz y así sucesivamente
Ejemplo de ecuación irracional con dos raíces

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