Funciones Extremos Relativos

, por dani

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f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}

f^\prime(x)=\frac{2x \cdot (x^2+1) - x^2 \cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{2x^3+2x-2x^3}{(x^2+1)^2} = \frac{2x}{(x^2+1)^2}

f^\prime(x)=0 \longrightarrow \frac{2x}{(x^2+1)^2}=0 \longrightarrow 2x=0 \longrightarrow x=0

El punto x=0 es el único candidato a Máximo o Mínimo.

Para ver si es máximo o mínimo podemos usar la segunda derivada como en Extremos de una función

Otra opción es estudiar la monotonía y aprovechar que la función es continua.

Lo vamos a hacer con el método de la segunda derivada

f^\prime(x)=\frac{2x}{(x^2+1)^2}

f^{\prime\prime}(x)=\frac{2 \cdot (x^2+1)^2 - 2x \cdot 2 \cdot (x^2+1) \cdot 2x}{(x^2+1)^4}

f^{\prime\prime}(x)=\frac{2 \cdot (x^2+1)^2 - 8x^2 \cdot (x^2+1)}{(x^2+1)^4}

No es necesario simplificar puesto que la tenemos que aplicar a x=0 y los cálculos no son complicados

f^{\prime\prime}(0)=\frac{2 \cdot (0^2+1)^2 - 8 \cdot 0^2 \cdot (0^2+1)}{(0^2+1)^4} = 2 > 0 \longrightarrow en x=0 hay un MÍNIMO

Calculamos la 2ª coordenada en la función original
f(0)=\frac{0^2}{0^2+1}=0

Por tanto el MÍNIMO es (0,0)

Aunque no lo pide el ejercicio, voy a dibujar la gráfica para comprobar el resultado

Halla los extremos relativos de la función y=\frac{x^2}{x^2+1}