Hallar Razones Trigonométricas

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Sabiendo que sen \: x = \frac{3}{5} y que \frac{\pi}{2} < x < \pi , averigua tg \: \left( x + \frac{\pi}{4} \right)

SOLUCIÓN

A partir del seno podemos calcular coseno y por tanto también tangente

sen^2 (x) + cos^2(x) = 1


\left( \frac{3}{5} \right)^2+ cos^2(x) = 1


\frac{9}{25} + cos^2(x) = 1


cos^2(x) = 1 - \frac{9}{25}


cos^2(x) = \frac{16}{25}


cos(x) = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}


Como \frac{\pi}{2} < x < \pi es un ángulo del segundo cuadrante y su coseno es negativo.
Por tanto cos(x) = - \frac{4}{5}
tg(x) = \frac{sen(x)}{cos(x)}=\frac{3}{5} : \frac{-4}{5}=\frac{3 \cdot \cancel{5}}{\cancel{5} \cdot (-4)}= \frac{-3}{4}

Recordemos que lo que nos piden es tg \: \left( x + \frac{\pi}{4} \right) por tanto debemos usar la fórmula de la tangente de suma de ángulos:

tg(\alpha + \beta)=\frac{tg \alpha + tg \beta}{1 - tg \alpha \cdot tg \beta}


Para nuestro caso sería:

tg\left( x + \frac{\pi}{4} \right)=\frac{tg (x) + tg\left( \frac{\pi}{4} \right)}{1 - tg (x) \cdot tg\left( \frac{\pi}{4} \right) }


Recordemos que tg(x) = \frac{-3}{4} (calculado antes) y que tg \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1}
Entonces tendríamos:

tg\left( x + \frac{\pi}{4} \right)=\frac{\frac{-3}{4} + 1}{1 - \frac{-3}{4} \cdot 1}=\frac{1/4}{7/4}=\frac{1}{4}:\frac{7}{4}=\frac{1}{7}