Cuando al factorizar el denominador obtenemos raíces reales múltiples (al cuadrado, al cubo, etc.), la descomposición en suma de fracciones es de la siguiente forma:
![\frac{P(x)}{(x-a)^3} = \frac{A}{(x-a)}+\frac{B}{(x-a)^2}+\frac{C}{(x-a)^3} \frac{P(x)}{(x-a)^3} = \frac{A}{(x-a)}+\frac{B}{(x-a)^2}+\frac{C}{(x-a)^3}](local/cache-vignettes/L358xH70/2d7e761981057c1a45120e444f999a12-994e9.png?1688084975)
Como el grado de multiplicidad es 3 (al cubo), debemos poner 3 fracciones con denominadores elevado a uno, a dos y a tres.
Ejemplo: ![\int \frac{2x}{(x-1)^3}dx \int \frac{2x}{(x-1)^3}dx](local/cache-vignettes/L120xH65/0713d47102d9aa8274a553e06bd20e57-528de.png?1688084975)
![\frac{2x}{(x-1)^3} = \frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x-1)^3} \frac{2x}{(x-1)^3} = \frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x-1)^3}](local/cache-vignettes/L358xH67/0e52670fd87857ddeeb068c9396c585b-c547d.png?1688084975)
Realizamos la suma
![\frac{2x}{(x-1)^3} = \frac{A(x-1)^2 +B(x-1)+C}{(x-1)^3} \frac{2x}{(x-1)^3} = \frac{A(x-1)^2 +B(x-1)+C}{(x-1)^3}](local/cache-vignettes/L328xH72/73b8f569a6cbbb5ae2b96a48cdfc6988-0675d.png?1688084975)
Igualamos numeradores:
![2x = A(x-1)^2 +B(x-1)+C 2x = A(x-1)^2 +B(x-1)+C](local/cache-vignettes/L275xH47/6013ceb9dca94ec5ee50ec93adb1bacd-9ece6.png?1688084975)
Damos valores a
– Si
– Si
– Si ![x=2 \longrightarrow 4=A+B+C \longrightarrow A+B=2 x=2 \longrightarrow 4=A+B+C \longrightarrow A+B=2](local/cache-vignettes/L357xH40/b1bb4ed33aca3cbfdcdd0db387eca2ce-fcaa3.png?1688084975)
Resolvemos el sistema y obtenemos
;
; ![C=2 C=2](local/cache-vignettes/L55xH40/64105c985c310fc71ad4b64b6484e527-a3e5b.png?1688084975)
Por tanto:
![\int \frac{2x}{(x-1)^3}dx = \int \frac{0}{x-1}dx + \int \frac{2}{(x-1)^2}dx +\int \frac{2}{(x-1)^3}dx= \int \frac{2x}{(x-1)^3}dx = \int \frac{0}{x-1}dx + \int \frac{2}{(x-1)^2}dx +\int \frac{2}{(x-1)^3}dx=](local/cache-vignettes/L530xH65/126262c772f1c0ec163cecb527eb4942-7e304.png?1688084975)
![=2 \cdot \int (x-1)^{-2}dx+2 \cdot \int (x-1)^{-3}dx =2 \cdot \int (x-1)^{-2}dx+2 \cdot \int (x-1)^{-3}dx](local/cache-vignettes/L333xH60/0bf735bff7e406314ea1fbc37ffec8da-33869.png?1688084975)
![=2 \cdot \frac{(x-1)^{-1}}{-1} + 2 \cdot \frac{(x-1)^{-2}}{-2}+C =2 \cdot \frac{(x-1)^{-1}}{-1} + 2 \cdot \frac{(x-1)^{-2}}{-2}+C](local/cache-vignettes/L305xH72/72d1dd24d3094e6646a44a7f6da2890d-edd94.png?1688084975)
Las integrales de cada fracción son inmediatas de tipo Neperiano o de tipo Potencia