Integrales Racionales con raíces reales múltiples

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Cuando al factorizar el denominador obtenemos raíces reales múltiples (al cuadrado, al cubo, etc.), la descomposición en suma de fracciones es de la siguiente forma:

\frac{P(x)}{(x-a)^3} = \frac{A}{(x-a)}+\frac{B}{(x-a)^2}+\frac{C}{(x-a)^3}

Como el grado de multiplicidad es 3 (al cubo), debemos poner 3 fracciones con denominadores elevado a uno, a dos y a tres.

Ejemplo: \int \frac{2x}{(x-1)^3}dx

\frac{2x}{(x-1)^3} = \frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x-1)^3}


Realizamos la suma

\frac{2x}{(x-1)^3} = \frac{A(x-1)^2 +B(x-1)+C}{(x-1)^3}


Igualamos numeradores:

2x = A(x-1)^2 +B(x-1)+C


Damos valores a x: 1, 0, 2

– Si x=1 \longrightarrow 2=C
– Si x=0 \longrightarrow 0=A-B+C \longrightarrow A-B=-2
– Si x=2 \longrightarrow 4=A+B+C \longrightarrow A+B=2

Resolvemos el sistema y obtenemos A=0 ; B=2 ; C=2

Por tanto:

\int \frac{2x}{(x-1)^3}dx = \int \frac{0}{x-1}dx + \int \frac{2}{(x-1)^2}dx +\int \frac{2}{(x-1)^3}dx=


=2 \cdot \int (x-1)^{-2}dx+2 \cdot \int (x-1)^{-3}dx


=2 \cdot \frac{(x-1)^{-1}}{-1} + 2 \cdot \frac{(x-1)^{-2}}{-2}+C

Las integrales de cada fracción son inmediatas de tipo Neperiano o de tipo Potencia