Perpendicular común a rectas que se cruzan

Considere las siguientes rectas:

$r: \: \frac{x-5}{1}=\frac{y-6}{1}=\frac{z+1}{1}$ y
$s: \: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}$

a) Estudie la posición relativa de ambas rectas.
b) En caso de que las rectas se corten, calcule el plano que las contiene y el ángulo que forman ambas rectas. En caso de que las rectas se crucen, calcule la perpendicular común a ambas rectas.

SOLUCIÓN

a) Estudiaremos la posición relativa mediante el método de los vectores
Obtenemos un vector director de cada recta
$r: \: \frac{x-5}{1}=\frac{y-6}{1}=\frac{z+1}{1} \longrightarrow \vec{v_r}=(1,1,1)$
$s: \: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1} \longrightarrow \vec{v_s}=(1,1,-1)$

Ahora necesitamos un tercer vector formado por un punto de cada recta
De la recta $r \longrightarrow A(5,6,-1)$
De la recta $s \longrightarrow A(1,0,-1)$
Entonces $\vec{AB}=(-4,-6,0)$

Con los tres vectores formamos una matriz y analizamos su rango

$M= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -4 & -6 & 0 \end{array} \right)$

$|M| = -4 \neq 0 \longrightarrow rg(M)=3 \longrightarrow$ se cruzan

b) Para encontrar la perpendicular común a ambas rectas usaremos el método descrito en el siguiente vídeo

$\vec{v_r}=(1,1,1)$
$\vec{v_s}=(1,1,-1)$
Ahora necesitamos un punto genérico de cada recta. Para ello necesitamos las ecuaciones paramétricas:

$r: \: \frac{x-5}{1}=\frac{y-6}{1}=\frac{z+1}{1} \longrightarrow \left\{ \begin{array}{lll} x=5+\lambda \\ y=6+\lambda \\ z=-1+\lambda \end{array} \right.$
Punto genérico de $r \longrightarrow A(5+\lambda, 6+\lambda, -1+\lambda)$

$s: \: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1} \longrightarrow \left\{ \begin{array}{lll} x=1+\mu \\ y=0+\mu \\ z=-1-\mu \end{array} \right.$
Punto genérico de $s \longrightarrow B(1+\mu, 0+\mu, -1-\mu)$

$\vec{AB} = \left( 1+\mu-(5+\lambda), \mu-(6+\lambda), -1-\mu-(-1+\lambda) \right)$

$\vec{AB} =( \mu-\lambda-4, \mu-\lambda-6, -\mu-\lambda )$

El vector $\vec{AB}$ tiene que ser perpendicular a los vectores directores de ambas rectas:

$\vec{AB} \perp \vec{v_r} \longrightarrow \vec{AB} \cdot \vec{v_r} = 0$
$\vec{AB} \perp \vec{v_s} \longrightarrow \vec{AB} \cdot \vec{v_s} = 0$
Por tanto:
$(\mu-\lambda-4) \cdot 1 + (\mu-\lambda-6) \cdot 1 + (-\mu-\lambda) \cdot 1= 0$
$(\mu-\lambda-4) \cdot 1 + (\mu-\lambda-6) \cdot 1 + (-\mu-\lambda) \cdot (-1)= 0$

Simplificando obtenemos estas dos ecuaciones:
$\left. \mu - 3 \lambda -10 = 0 \atop 3\mu - \lambda -10 = 0 \right\}$
Resolvemos el sistema y obtenemos como soluciones:

$\lambda=\frac{-5}{2} \qquad ; \qquad \mu=\frac{5}{2}$

Entonces el vector será:

$\vec{AB} =( \mu-\lambda-4, \mu-\lambda-6, -\mu-\lambda )$

$\vec{AB} =\left( \frac{5}{2}-\frac{-5}{2}-4, \frac{5}{2}-\frac{-5}{2}-6, -\frac{5}{2}-\frac{-5}{2} \right)$

$\vec{AB} =\left( 1,-1,0 \right)$

El punto A es entonces:

$A(5+\lambda, 6+\lambda, -1+\lambda)$

$A\left(\frac{5}{2}, \frac{7}{2}, \frac{-7}{2} \right)$

Con vector y punto ya podemos definir la ecuación de la perpendicular común

$\left\{ \begin{array}{l} x= \frac{5}{2}+t \\ \\ y= \frac{7}{2}-t \\ \\ z= \frac{-7}{2} \end{array} \right.$

Otra forma de hacerlo

De las ecuaciones de las rectas r y s podemos obtener punto y vector de cada recta
$r \equiv \left\{ P_r(5,6,-1) \atop \vec{v_r}=(1,1,1) \right. \qquad s \equiv \left\{ P_s(1,0,-1) \atop \vec{v_s}=(1,1,-1) \right.$
El vector $\vec{v_r} \times \vec{v_s}$ nos servirá como vector director de la recta (p) perpendicular común (recordemos que el vector producto vectorial de dos vectores es perpendicular a cada uno de esos dos vectores).

Si lo calculamos obtenemos $\vec{v_r} \times \vec{v_s} =(-2,2,0)$
También podemos usar un vector proporcional $\vec{w}=(-1,1,0)$

Hallamos la perpendicular común como intersección de dos planos:
plano 1 $(\pi_1)$ : contiene a r y es paralelo a $\vec{w}$
plano 2 $(\pi_2)$ : contiene a s y es paralelo a $\vec{w}$

$\pi_1 \equiv \left\{ \begin{array}{c} P_r(5,6,-1) \\ \vec{v_r}=(1,1,1) \\ \vec{w}=(-1,1,0) \end{array} \right. \quad \pi_2 \equiv \left\{ \begin{array}{c} P_r(1,0,-1) \\ \vec{v_r}=(1,1,-1) \\ \vec{w}=(-1,1,0) \end{array} \right.$