Perpendicular común a rectas que se cruzan
SOLUCIÓN
a) Estudiaremos la posición relativa mediante el método de los vectores
Obtenemos un vector director de cada recta
Ahora necesitamos un tercer vector formado por un punto de cada recta
De la recta
De la recta
Entonces
Con los tres vectores formamos una matriz y analizamos su rango
se cruzan
b) Para encontrar la perpendicular común a ambas rectas usaremos el método descrito en el siguiente vídeo
Ahora necesitamos un punto genérico de cada recta. Para ello necesitamos las ecuaciones paramétricas:
Punto genérico de
Punto genérico de
El vector tiene que ser perpendicular a los vectores directores de ambas rectas:
Por tanto:
Simplificando obtenemos estas dos ecuaciones:
Resolvemos el sistema y obtenemos como soluciones:
Entonces el vector será:
El punto A es entonces:
Con vector y punto ya podemos definir la ecuación de la perpendicular común
Otra forma de hacerlo
De las ecuaciones de las rectas r y s podemos obtener punto y vector de cada recta
El vector nos servirá como vector director de la recta (p) perpendicular común (recordemos que el vector producto vectorial de dos vectores es perpendicular a cada uno de esos dos vectores).
Si lo calculamos obtenemos
También podemos usar un vector proporcional
Hallamos la perpendicular común como intersección de dos planos:
plano 1
: contiene a r y es paralelo a
plano 2
: contiene a s y es paralelo a
Ahora podemos obtener la ecuación general de cada plano mediante determinantes y obtendremos:
Por tanto, la ecuación de la perpendicular común (en ecuaciones implícitas) es: