Perpendicular común a rectas que se cruzan

Considere las siguientes rectas:

$r: \: \frac{x-5}{1}=\frac{y-6}{1}=\frac{z+1}{1}$ y
$s: \: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}$

a) Estudie la posición relativa de ambas rectas.
b) En caso de que las rectas se corten, calcule el plano que las contiene y el ángulo que forman ambas rectas. En caso de que las rectas se crucen, calcule la perpendicular común a ambas rectas.

SOLUCIÓN

a) Estudiaremos la posición relativa mediante el método de los vectores
Obtenemos un vector director de cada recta
$r: \: \frac{x-5}{1}=\frac{y-6}{1}=\frac{z+1}{1} \longrightarrow \vec{v_r}=(1,1,1)$
$s: \: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1} \longrightarrow \vec{v_s}=(1,1,-1)$

Ahora necesitamos un tercer vector formado por un punto de cada recta
De la recta $r \longrightarrow A(5,6,-1)$
De la recta $s \longrightarrow A(1,0,-1)$
Entonces $\vec{AB}=(-4,-6,0)$

Con los tres vectores formamos una matriz y analizamos su rango

$M= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -4 & -6 & 0 \end{array} \right)$

$|M| = -4 \neq 0 \longrightarrow rg(M)=3 \longrightarrow$ se cruzan

b) Para encontrar la perpendicular común a ambas rectas usaremos el método descrito en el siguiente vídeo

$\vec{v_r}=(1,1,1)$
$\vec{v_s}=(1,1,-1)$
Ahora necesitamos un punto genérico de cada recta. Para ello necesitamos las ecuaciones paramétricas:

$r: \: \frac{x-5}{1}=\frac{y-6}{1}=\frac{z+1}{1} \longrightarrow \left\{ \begin{array}{lll} x=5+\lambda \\ y=6+\lambda \\ z=-1+\lambda \end{array} \right.$
Punto genérico de $r \longrightarrow A(5+\lambda, 6+\lambda, -1+\lambda)$

$s: \: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1} \longrightarrow \left\{ \begin{array}{lll} x=1+\mu \\ y=0+\mu \\ z=-1-\mu \end{array} \right.$
Punto genérico de $s \longrightarrow B(1+\mu, 0+\mu, -1-\mu)$

$\vec{AB} = \left( 1+\mu-(5+\lambda), \mu-(6+\lambda), -1-\mu-(-1+\lambda) \right)$

$\vec{AB} =( \mu-\lambda-4, \mu-\lambda-6, -\mu-\lambda )$

El vector $\vec{AB}$ tiene que ser perpendicular a los vectores directores de ambas rectas:

$\vec{AB} \perp \vec{v_r} \longrightarrow \vec{AB} \cdot \vec{v_r} = 0$
$\vec{AB} \perp \vec{v_s} \longrightarrow \vec{AB} \cdot \vec{v_s} = 0$
Por tanto:
$(\mu-\lambda-4) \cdot 1 + (\mu-\lambda-6) \cdot 1 + (-\mu-\lambda) \cdot 1= 0$
$(\mu-\lambda-4) \cdot 1 + (\mu-\lambda-6) \cdot 1 + (-\mu-\lambda) \cdot (-1)= 0$

Simplificando obtenemos estas dos ecuaciones:
$\left. \mu - 3 \lambda -10 = 0 \atop 3\mu - \lambda -10 = 0 \right\}$
Resolvemos el sistema y obtenemos como soluciones: