Perpendicular común a rectas que se cruzan

Considere las siguientes rectas:

r: \: \frac{x-5}{1}=\frac{y-6}{1}=\frac{z+1}{1} y
s: \: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}

a) Estudie la posición relativa de ambas rectas.
b) En caso de que las rectas se corten, calcule el plano que las contiene y el ángulo que forman ambas rectas. En caso de que las rectas se crucen, calcule la perpendicular común a ambas rectas.

SOLUCIÓN

- a) Estudiaremos la posición relativa mediante el método de los vectores
Obtenemos un vector director de cada recta
r: \: \frac{x-5}{1}=\frac{y-6}{1}=\frac{z+1}{1} \longrightarrow \vec{v_r}=(1,1,1)
s: \: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1} \longrightarrow \vec{v_s}=(1,1,-1)

Ahora necesitamos un tercer vector formado por un punto de cada recta
- De la recta r \longrightarrow A(5,6,-1)
- De la recta s \longrightarrow A(1,0,-1)
Entonces \vec{AB}=(-4,-6,0)

Con los tres vectores formamos una matriz y analizamos su rango

M=
\left(
\begin{array}{ccc}
     1 & 1 & 1
  \\ 1 & 1 & -1
  \\ -4 & -6 & 0
\end{array}
\right)

|M| = -4 \neq 0 \longrightarrow rg(M)=3 \longrightarrow se cruzan

- b) Para encontrar la perpendicular común a ambas rectas usaremos el método descrito en el siguiente vídeo

\vec{v_r}=(1,1,1)
\vec{v_s}=(1,1,-1)
Ahora necesitamos un punto genérico de cada recta. Para ello necesitamos las ecuaciones paramétricas:

r: \: \frac{x-5}{1}=\frac{y-6}{1}=\frac{z+1}{1} \longrightarrow \left\{ \begin{array}{lll}
x=5+\lambda  \\  
y=6+\lambda  \\
z=-1+\lambda
\end{array}
\right.
Punto genérico de r \longrightarrow A(5+\lambda, 6+\lambda, -1+\lambda)

s: \: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1} \longrightarrow \left\{ \begin{array}{lll}
x=1+\mu  \\  
y=0+\mu  \\
z=-1-\mu
\end{array}
\right.
Punto genérico de s \longrightarrow B(1+\mu, 0+\mu, -1-\mu)

\vec{AB} = \left( 1+\mu-(5+\lambda), \mu-(6+\lambda), -1-\mu-(-1+\lambda) \right)


\vec{AB} =( \mu-\lambda-4, \mu-\lambda-6, -\mu-\lambda )

El vector \vec{AB} tiene que ser perpendicular a los vectores directores de ambas rectas:

\vec{AB} \perp \vec{v_r} \longrightarrow \vec{AB} \cdot \vec{v_r} = 0
\vec{AB} \perp \vec{v_s} \longrightarrow \vec{AB} \cdot \vec{v_s} = 0
Por tanto:
 (\mu-\lambda-4) \cdot 1 + (\mu-\lambda-6) \cdot 1 + (-\mu-\lambda) \cdot 1= 0
 (\mu-\lambda-4) \cdot 1 + (\mu-\lambda-6) \cdot 1 + (-\mu-\lambda) \cdot (-1)= 0

Simplificando obtenemos estas dos ecuaciones:
\left.
\mu - 3 \lambda -10  =  0 \atop
3\mu -  \lambda -10  =  0
\right\}
Resolvemos el sistema y obtenemos como soluciones:

\lambda=\frac{-5}{2} \qquad ; \qquad \mu=\frac{5}{2}


Entonces el vector será:

\vec{AB} =( \mu-\lambda-4, \mu-\lambda-6, -\mu-\lambda )


\vec{AB} =\left( \frac{5}{2}-\frac{-5}{2}-4, \frac{5}{2}-\frac{-5}{2}-6, -\frac{5}{2}-\frac{-5}{2} \right)


\vec{AB} =\left( 1,-1,0 \right)

El punto A es entonces:

A(5+\lambda, 6+\lambda, -1+\lambda)


A\left(\frac{5}{2}, \frac{7}{2}, \frac{-7}{2} \right)

Con vector y punto ya podemos definir la ecuación de la perpendicular común

\left\{ \begin{array}{l}
x=  \frac{5}{2}+t \\ \\
y=  \frac{7}{2}-t  \\ \\
z=  \frac{-7}{2}
\end{array}
\right.