04 - Determinación y ecuaciones del plano

Podemos determinar un plano en el espacio de tres maneras distintas:

– Tres puntos no alineados
– Un punto y dos vectores directores
– Un punto y el vector normal al plano

Ecuaciones del plano

Partimos de un punto por el que pasa y dos vectores directores $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$ y $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$

Ecuación vectorial

$(x,y,z) = (a_1,a_2,a_3) + \alpha (u_1,u_2,u_3) + \beta (v_1,v_2,v_3)$

Ecuaciones paramétricas

$\left\{ \begin{array}{lll} x=a_1+\alpha u_1 + \beta v_1 \\ y=a_2+\alpha u_2 + \beta v_2 \\ z=a_3+\alpha u_3 + \beta v_3 \end{array} \right.$

Ecuación implícita o general

$\left| \begin{array}{ccc} x-a_1 & y-a_2 & z-a_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{array} \right| = 0$

De donde se obtiene una ecuación del tipo:

De la ecuación anterior se puede obtener el vector normal al plano