Plano perpendicular a una recta por un punto

Resuelve los siguientes apartados:
– a) Calcular la ecuación del plano $\pi$ que pasa por y es perpendicular a la recta
$r \equiv \left\{ x + y +z = 1 \atop 2x + y = 3 \right.$

– b) Corta el plano anterior con los tres ejes de coordenadas y obtendrás tres puntos A, B y C. Calcula el Volumen del tetraedro que determinan.

SOLUCIÓN

Un plano se puede determinar de varias formas, por ejemplo:
– con un punto y dos vectores (o 3 puntos no alineados)
– con un punto un vector perpendicular al plano

En este caso elegiremos la segunda opción, pues tenemos un punto y un vector normal (perpendicular): el vector director de la recta

Necesitamos el vector director de la recta.
Para hallar puntos y vectores de una recta en ecuaciones implícitas tenemos varios métodos. En esta ecuación lo haré pasando a ecuaciones paramétricas.

$\left. \begin{array}{rcr} x+y+z & = & 1 \\ 2x+y & = & 3 \end{array} \right\} \longrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} z & = & t \\ x+y+t & = & 1 \longrightarrow y=1-t-x \\ 2x+y & = & 3 \longrightarrow 2x+\textcolor{blue}{1-t-x}=3 \longrightarrow x=2+t \end{array} \right.$
$y = 1-t-\textcolor{blue}{(2+t)} \longrightarrow y=-1-2t$

La recta «r» en ecuaciones paramétricas es:
$r \equiv \left \{ \begin{array}{ccc} x = & 2 & +t \\ y = & -1 & -2t \\ z= & &t \end{array} \right.$

Con el vector director de la recta $\vec{v}=(1,-2,1)$ y el punto construimos la ecuación del plano.

Por tener de vector normal $\vec{v}=(1,-2,1)$ el plano tendrá por ecuación:

$\pi \equiv 1 \cdot x -2 \cdot y + 1 \cdot z + D = 0$

Si le hacemos pasar por el punto tenemos:

$1 \cdot 3 -2 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) + D = 0 \longrightarrow \textcolor{blue}{D=-4}$

.
Por tanto:

$\fbox{\textcolor{blue}{\bm{\pi \equiv x -2y + z - 4 = 0}}}$

– b) Hallamos los puntos de corte del plano con los ejes de coordenadas

– Si $y=0 , z=0 \longrightarrow x=4 \longrightarrow A(4,0,0)$
– Si $x=0 , z=0 \longrightarrow y=-2 \longrightarrow B(0,-2,0)$
– Si $x=0 , y=0 \longrightarrow z=4 \longrightarrow C(0,0,4)$