Plano perpendicular a una recta por un punto

Resuelve los siguientes apartados:
- a) Calcular la ecuación del plano \pi que pasa por P(3,-1,-1) y es perpendicular a la recta
r \equiv \left\{
x + y +z = 1 \atop
 2x + y = 3
\right.

- b) Corta el plano anterior con los tres ejes de coordenadas y obtendrás tres puntos A, B y C. Calcula el Volumen del tetraedro que determinan.

SOLUCIÓN

Un plano se puede determinar de varias formas, por ejemplo:
- con un punto y dos vectores (o 3 puntos no alineados)
- con un punto un vector perpendicular al plano

En este caso elegiremos la segunda opción, pues tenemos un punto y un vector normal (perpendicular): el vector director de la recta

Necesitamos el vector director de la recta.
Para hallar puntos y vectores de una recta en ecuaciones implícitas tenemos varios métodos. En esta ecuación lo haré pasando a ecuaciones paramétricas.

\left.
\begin{array}{rcr}
     x+y+z & = & 1
  \\ 2x+y & = & 3
\end{array}
\right\} \longrightarrow 
\left \{
\begin{array}{rcl}
  z & = & t
  \\   x+y+t & = & 1 \longrightarrow y=1-t-x
  \\ 2x+y & = & 3 \longrightarrow 2x+\textcolor{blue}{1-t-x}=3 \longrightarrow x=2+t
\end{array}
\right.
y = 1-t-\textcolor{blue}{(2+t)}  \longrightarrow y=-1-2t

La recta «r» en ecuaciones paramétricas es:
r \equiv \left \{
\begin{array}{ccc}
     x = & 2 & +t
  \\ y = & -1 & -2t
\\ z= &  &t
\end{array}
\right.

Con el vector director de la recta \vec{v}=(1,-2,1) y el punto P(3,-1,-1) construimos la ecuación del plano.

Por tener de vector normal \vec{v}=(1,-2,1) el plano tendrá por ecuación:

\pi \equiv 1 \cdot x -2 \cdot y + 1 \cdot z + D = 0

Si le hacemos pasar por el punto P(3,-1,-1) tenemos:

 1 \cdot 3 -2 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) + D = 0 \longrightarrow \textcolor{blue}{D=-4}

.
Por tanto:

\fbox{\textcolor{blue}{\bm{\pi \equiv x -2y + z - 4 = 0}}}

- b) Hallamos los puntos de corte del plano x -2y + z - 4 = 0 con los ejes de coordenadas

- Si y=0 , z=0 \longrightarrow x=4 \longrightarrow A(4,0,0)
- Si x=0 , z=0 \longrightarrow y=-2 \longrightarrow B(0,-2,0)
- Si x=0 , y=0 \longrightarrow z=4 \longrightarrow C(0,0,4)

Ahora tenemos que calcular el volumen del tetraedro determinado por los puntos A,B,C y O(0,0,0)

Para calcular el volumen del tetraedro formado por los vectores \vec{OA} , \vec{OB} y \vec{OC} se usa el producto mixto

V = \frac{1}{6} \cdot |[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}]|

[\vec{OA} , \vec{OB} , \vec{OC}]
= \left| \begin{array}{ccc} 
4 & 0 & 0 \\
0 & -2 & 0 \\
0 & 0 & 4
\end{array} \right| = -32

V = \frac{1}{6} \cdot |-32| = \frac{32}{6} =\frac{16}{3} u^3

El volumen es de 16/3 unidades cúbicas