Problema aplanadora construcción carretera

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En una construcción de una carreta de 6530 metros de longitud, una aplanadora realiza el siguiente recorrido para alisar la capa asfáltica:
En el primer minuto recorre a metros, en el segundo minuto recorre 2a metros y retrocede 10 metros, al tercer minuto se recorre 3a metros y retrocede 10 metros, y así sucesivamente hasta completar el trabajo en 42 minutos. Calcular el valor de a

SOLUCIÓN

Si observamos la sucesión
a \quad 2a-10 \quad 3a-10 \quad 4a-10 \quad \cdots
vemos que todos los términos (excepto el primero) están en progresión aritmética de diferencia d=a (cualquier término se obtiene sumando "a" al anterior.

a \quad \underbrace{2a-10 \quad 3a-10 \quad 4a-10 \quad \cdots}_{progres-aritm}

Como exceptuamos el primer término y son 42 minutos, tendríamos una progresión aritmética con d=a y con 41 términos, siendo:

A_1=2a-10 \qquad A_2=3a-10 \quad \cdots \quad A_{41}=42a-10

Si a la suma de esos 41 términos le sumamos "a" (del primer minuto) obtendremos los 6530 metros que recorrió la aplanadora.

a + S_{41} = 6530

Usamos la fórmula de la Suma de los n primeros términos de una progresión aritmética: \fbox{S_n=\frac{(a_1+a_n) \cdot n}{2}}

S_{41}= \frac{(A_1+A_{41}) \cdot 41}{2}=\frac{((2a-10)+(42a-10))\cdot 41}{2}=
=\frac{(44a-20) \cdot 41}{2}=\frac{1804a-820}{2} = 902a-410

Ahora ya podemos plantear la ecuación:

a + S_{41} = 6530

a + 902a-410 = 6530

903a = 6530+410

903a = 6940 \longrightarrow a=\frac{6940}{903} \longrightarrow \fbox{a \approx 7.685}