Rango de una matriz en función de un parámetro

matrices rango

Veamos como calcular el rango (en función de un parámetro) de una matriz de dimensión 3x3
$A= \left( \begin{array}{ccc} 2 & m & 5 \\ 0 & -1 & 1 \\ -m & -3 & 0 \end{array} \right)$
Observamos que todos los elementos no son números. Hay un parámetro (en este caso "m").
El rango de la matriz puede ser distinto dependiendo del valor "m".

– 1) Calculamos el determinante
$|A|= \left| \begin{array}{ccc} 2 & m & 5 \\ 0 & -1 & 1 \\ -m & -3 & 0 \end{array} \right| = -m^2-5m+6$

– 2) Resolvemos la ecuación $| A | = 0$

$-m^2-5m+6= 0$

$\begin{array}{ccc} & & m_1 = \frac{5+7}{-2}=-6\\ & \nearrow &\\ m=\frac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2-4 \cdot(-1)\cdot6}}{2 \cdot(-1)}= \frac{5\pm \sqrt{49}}{-2}& &\\ & \searrow &\\& &m_2 = \frac{5-7}{-2}=1\end{array}$

– 3) Analizamos cuando $| A | \neq 0$

Si $\fbox{m \neq -6}$ y $\fbox{m \neq 1} \longrightarrow | A | \neq 0 \longrightarrow rg(A)=3$

– 4) Analizamos, uno a uno el resto de casos

– Si $\fbox{m = -6}$ ya sabemos que $| A | = 0$
Por tanto el rango no puede ser 3. Veamos si el rango es 2
$A= \left( \begin{array}{ccc} 2 & -6 & 5 \\ 0 & -1 & 1 \\ 6 & -3 & 0 \end{array} \right)$

$\left| \begin{array}{cc} 2 & -6 \\ 0 & -1 \end{array} \right| = -2 \neq 0 \longrightarrow rg(A)=2$

– Si $\fbox{m = 1}$ ya sabemos que $| A | = 0$
Por tanto el rango no puede ser 3. Veamos si el rango es 2
$A= \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & -3 & 0 \end{array} \right)$

$\left| \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{array} \right| = -2 \neq 0 \longrightarrow rg(A)=2$

Resumimos el resultado:

– Si $\fbox{m \neq -6}$ y $\fbox{m \neq 1} \longrightarrow rg(A)=3$
– Si $\fbox{m = -6} \longrightarrow rg(A)=2$
– Si $\fbox{m = 1} \longrightarrow rg(A)=2$

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