Razones trigonométricas conociendo el coseno

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Si \alpha es un ángulo del segundo cuadrante y cos \: \alpha=\frac{-3}{4}, se pide:

a) Calcula sen \: \alpha y tan \: \alpha
b) Averigua el valor de \alpha en radianes y grados sexagesimales
c) Calcula seno, coseno y tangente de 2 \alpha y de \frac{\alpha}{2}

SOLUCIÓN

Aplicando la fórmula fundamental de la trigonometría podemos calcular el seno:

\fbox{sen^2(\alpha) + cos^2(\alpha)=1}

sen^2(\alpha) + \left( \frac{-3}{4}\right)^2 = 1

sen^2(\alpha) = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}

sen(\alpha) = +\sqrt{\frac{7}{16}} = \textcolor{blue}{\frac{+\sqrt{7}}{4}}

Tomamos la raíz positiva por ser un ángulo del segundo cuadrante

tg(\alpha)= \frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)} = \frac{\frac{+\sqrt{7}}{4}}{\frac{-3}{4}} = \textcolor{blue}{- \frac{\sqrt{7}}{3}}

b) Averigua el valor de \alpha en radianes y grados sexagesimales

cos \: \alpha=\frac{-3}{4} \longrightarrow \alpha = arc \: cos \left( \frac{-3}{4} \right)

Si usamos la calculadora obtenemos \alpha = \textcolor{blue}{138.59^\circ}

Si lo pasamos a radianes obtenemos aproximadamente \textcolor{blue}{0.77 \pi} radianes

c) Calcula seno, coseno y tangente de 2 \alpha y de \frac{\alpha}{2}

Usamos las fórmulas del ángulo doble y ángulo mitad

\fbox{sen (2 \alpha) = 2 \cdot sen(\alpha) \cdot cos(\alpha) }

sen (2 \alpha) = 2 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{-3}{4} = \textcolor{blue}{\frac{-3 \cdot \sqrt {7}}{8}}

\fbox{cos (2 \alpha) = cos^2(\alpha) - sen^2(\alpha) }

cos (2 \alpha) = \left( \frac{-3}{4} \right)^2 - \left( \frac{\sqrt{7}}{4} \right)^2=\frac{9}{16}- \frac{7}{16} = \frac{2}{16} = \textcolor{blue}{\frac{1}{8}}

tg(2 \alpha)= \frac{sen(2 \alpha)}{cos(2 \alpha)}=\frac{\frac{-3 \cdot \sqrt {7}}{8}}{\frac{1}{8}} = \textcolor{blue}{-3 \cdot \sqrt {7}}

\fbox{sen \left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\dfrac{1-cos(\alpha)}{2} }}

sen \left(\frac{\alpha}{2}\right) = +\sqrt{\frac{1-\left( \frac{-3}{4}\right)}{2} } = \textcolor{blue}{+\sqrt{\frac{7}{8}}}
Observe que si \alpha es del segundo cuadrante, entonces \alpha/2 es del primer cuadrante

\fbox{cos \left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\dfrac{1+cos(\alpha)}{2} }}

cos \left(\frac{\alpha}{2}\right) = +\sqrt{\frac{1+\left( \frac{-3}{4}\right)}{2} } = \textcolor{blue}{+\sqrt{\frac{1}{8}}}

tg \left( \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{sen\left( \frac{\alpha}{2}\right)}{cos\left( \frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{\sqrt{\frac{7}{8}}}{\sqrt{\frac{1}{8}}}=\textcolor{blue}{\sqrt{7}}