Recordemos la fórmula fundamental de la trigonometría:
![\fbox{sen^2(\alpha) + cos^2(\alpha)=1} \fbox{sen^2(\alpha) + cos^2(\alpha)=1}](local/cache-vignettes/L200xH55/8ceaa65f07c4ef3022bc3f87c9159b3f-ac0b3.png?1688057865)
Debemos saber antes de nada que
![sen^2(\alpha)=\left( sen(\alpha) \right)^2 sen^2(\alpha)=\left( sen(\alpha) \right)^2](local/cache-vignettes/L175xH48/1ae0219d97f8f9a2cc985f874df33e8d-bf621.png?1688087082)
Por convenio se usa la primera expresión.
¿De dónde sale la fórmula fundamental?
Recordamos como se definen las razones trigonométricas
![sen (\alpha)=\frac{cateto \: opuesto}{hipotenusa}=\frac{c}{a} sen (\alpha)=\frac{cateto \: opuesto}{hipotenusa}=\frac{c}{a}](local/cache-vignettes/L253xH63/34dadf3dee7d3dd2508e81de969f6292-28ec1.png?1688087082)
![cos (\alpha)=\frac{cateto \: contiguo}{hipotenusa}=\frac{b}{a} cos (\alpha)=\frac{cateto \: contiguo}{hipotenusa}=\frac{b}{a}](local/cache-vignettes/L258xH67/1c852c461de3e1b77815859661da9613-9b7be.png?1688087082)
![tg (\alpha)=\frac{cateto \: opuesto}{cateto \: contiguo}=\frac{c}{b} tg (\alpha)=\frac{cateto \: opuesto}{cateto \: contiguo}=\frac{c}{b}](local/cache-vignettes/L248xH63/96ba72f3f3a943776651fc585bd49c5a-fb902.png?1688087082)
Si calculamos:
tenemos
![sen^2(\alpha) + cos^2(\alpha)=\left( \frac{c}{a} \right)^2 +\left( \frac{b}{a} \right)^2=\frac{c^2}{a^2}+\frac{b^2}{a^2}= sen^2(\alpha) + cos^2(\alpha)=\left( \frac{c}{a} \right)^2 +\left( \frac{b}{a} \right)^2=\frac{c^2}{a^2}+\frac{b^2}{a^2}=](local/cache-vignettes/L417xH78/b95d83626ad1f429044f06b93ac84631-809a6.png?1688087082)
![=\frac{c^2+b^2}{a^2} \stackrel{*}{=} \frac{a^2}{a^2}=1 =\frac{c^2+b^2}{a^2} \stackrel{*}{=} \frac{a^2}{a^2}=1](local/cache-vignettes/L170xH72/562146e1b20dcf78f784539d421c4577-f0757.png?1688087082)
Por Pitágoras ![c^2+b^2=a^2 c^2+b^2=a^2](local/cache-vignettes/L103xH47/57c14e7c7c45a0e855e0cdbf77eb0136-9a8fc.png?1688087082)
Fórmulas derivadas
Si en la fórmula fundamental dividimos todo por ![sen^2(\alpha) sen^2(\alpha)](local/cache-vignettes/L70xH47/b6a5535e1c24cbc01b4ea0718df17205-de366.png?1688068530)
![\frac{sen^2(\alpha)}{sen^2(\alpha)} + \frac{cos^2(\alpha)}{sen^2(\alpha)} =\frac{1}{sen^2(\alpha)} \frac{sen^2(\alpha)}{sen^2(\alpha)} + \frac{cos^2(\alpha)}{sen^2(\alpha)} =\frac{1}{sen^2(\alpha)}](local/cache-vignettes/L260xH72/b320f0038078b4f8028bf9ecbc651ca1-1ef33.png?1688087082)
Obtenemos:
![\fbox{1 + cotg^2(\alpha) =\frac{1}{sen^2(\alpha)}} \fbox{1 + cotg^2(\alpha) =\frac{1}{sen^2(\alpha)}}](local/cache-vignettes/L203xH57/5f138e03357a8187923c495c2fdfc419-988fa.png?1688087082)
Iguamente, si dividimos por
![\frac{sen^2(\alpha)}{cos^2(\alpha)} + \frac{cos^2(\alpha)}{cos^2(\alpha)} =\frac{1}{cos^2(\alpha)} \frac{sen^2(\alpha)}{cos^2(\alpha)} + \frac{cos^2(\alpha)}{cos^2(\alpha)} =\frac{1}{cos^2(\alpha)}](local/cache-vignettes/L255xH72/513ad92d149926b533e750bbdfb9ab4e-ab44d.png?1688087082)
![\fbox{tg^2(\alpha) + 1=\frac{1}{cos^2(\alpha)}} \fbox{tg^2(\alpha) + 1=\frac{1}{cos^2(\alpha)}}](local/cache-vignettes/L178xH57/fdc5ae9a5fd1f06a400bf66fc1d446c9-3f156.png?1688087082)
Estas fórmulas nos permiten, por ejemplo, obtener el coseno a partir de la tangente.
Se usan bastante en ejercicios del tipo "Dada una razón trigonométrica, calcula las demás razones"