Resolver inecuación exponencial

inecuaciones_2_grado

Resuelve la inecuación $7^{x^2+5x} \geq \frac{1}{2401}$

SOLUCIÓN

$7^{x^2+5x} \geq \frac{1}{2401}$

En principio actuamos como si fuese una ecuación exponencial, es decir, expresamos todo en potencias de la misma base y procuramos dejar una sola potencia a cada lado del signo igual.

$7^{x^2+5x} \geq \frac{1}{7^4}$

$7^{x^2+5x} \geq 7^{-4}$

$x^2+5x \geq -4$

$x^2+5x +4 \geq 0$

Se ha convertido en una inecuación de segundo grado, que podemos resolver por varios métodos. Cualquier método que usemos pasa por resolver primero la ecuación de segundo grado

$\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{-5+3}{2}=-1\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-5\pm \sqrt{5^2-4 \cdot1\cdot4}}{2 \cdot1}= \frac{-5\pm \sqrt{9}}{2}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{-5-3}{2}=-4\end{array}$

Vamos a resolverla usando el método de la recta real. Los intervalos a considerar serán:
$(-\infty,-4) \qquad (-4,-1) \qquad (-1, +\infty)$

Tomamos un punto de cada intervalo para comprobar si verifica la inecuación

$(-5)^2+5 \cdot (-5) +4 \stackrel{?}{\geq} 0 \longrightarrow 4 \geq 0 \longrightarrow$ SI
$(-2)^2+5 \cdot (-2) +4 \stackrel{?}{\geq} 0 \longrightarrow -2 \geq 0 \longrightarrow$ NO
$0^2+5 \cdot 0 +4 \stackrel{?}{\geq} 0 \longrightarrow 4 \geq 0 \longrightarrow$ SI