Sistema lineal 3x3 resuelto por sustitución

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Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de sustitución:

\left. \begin{array}{rrr} 2x + y -z = -3 \\ 3x -y + z = 3 \\ 5x + 4z = 12 \end{array} \right\}

SOLUCIÓN

Despejamos "z" en la primera ecuación y sustituimos en las otras dos ecuaciones
\fbox{2x + y +3 = z}
Ahora en las otras dos ecuaciones donde haya z ponemos 2x + y +3

\left. \begin{array}{r} 3x -y + \overbrace{(2x + y +3)}^{z} = 3 \\ 5x + 4 \cdot \underbrace{(2x + y +3)}_{z} = 12 \end{array} \right\}

Tenemos un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.
Quitamos paréntesis y lo ordenamos antes de resolver.
\left. \begin{array}{r} 3x -y + 2x + y +3 = 3 \\ 5x + 8x + 4y + 12 = 12 \end{array} \right\}

\left. \begin{array}{r} 5x = 0 \\ 13x + 4y = 0 \end{array} \right\}

De la 1ª ecuación obtenemos:
5x = 0 \longrightarrow x=\frac{0}{5} \longrightarrow \fbox{x=0}
En la 2ª ecuación sustituimos "x" por "0"
13x + 4y = 0 \longrightarrow 4y=0 \longrightarrow y=\frac{0}{4} \longrightarrow \fbox{y=0}

Ya sólo nos queda calcular "z" que estaba despejada a principio del ejercicio:
2x + y +3 = z
2 \cdot 0 + 0 +3 = z \longrightarrow \fbox{z=3}

Por tanto la solución es:

\fbox{x=0 \: , \: y=0 \: , \: z=3}