Sistemas de ecuaciones no lineales

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Resuelve el sistema de ecuaciones:

\left. \begin{array}{lcc} x^2 + y^2 = 45\\ x - y = 3 \end{array} \right\}

SOLUCIÓN

Los sistemas de ecuaciones "no lineales" pueden llevar incógnitas elevadas a un exponente, incógnitas multiplicadas o divididas entre sí, etc.

Aunque hay muchos métodos para resolverlos, el de sustitución es casi siempre la mejor opción para este tipo de sistemas.

Podemos despejar "x" en la segunda ecuación

\left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 = 45\\ x - y = 3 \longrightarrow \fbox{x=3+y} \end{array} \right.

y sustituir en la primera ecuación:

(3+y)^2 + y^2 = 45


Aplicamos las fórmulas de los productos notables

3^2+y^2+2 \cdot 3 \cdot y + y^2 = 45


9+y^2+6 y + y^2 = 45


Como es una ecuación de 2º grado, pasamos todo a la izquierda, ordenamos y agrupamos:

2y^2+6 y -36 = 0


Resolvemos usando la fórmula general

\begin{array}{ccc} & & y_1 = \frac{-6+18}{4}=3\\ & \nearrow &\\ y=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4 \cdot2\cdot(-36)}}{2 \cdot2}= \frac{-6\pm \sqrt{324}}{4}& &\\ & \searrow &\\& &y_2 = \frac{-6-18}{4}=-6\end{array}


Ahora, para calcular "x" usamos la expresión donde la teníamos despejada:

x=3+y

Si y_1 =3 \longrightarrow x_1=3+3 \longrightarrow x_1=6
Si y_2 =-6 \longrightarrow x_2=3+(-6) \longrightarrow x_2=-3

Por tanto el sistema tiene dos soluciones:
\fbox{x=6 ; y=3} y \fbox{x=-3 ; y=-6}