trigonometría problemas

Ejercicios_Resueltos problemas trigonometría trigonometría

Observamos el punto más alto de una torre bajo un ángulo de $72^\circ$ sobre la horizontal. Si nos alejamos 350 metros, lo vemos bajo un ángulo de $31^\circ$ . ¿A qué altura se encuentra la
torre?

SOLUCIÓN

Hacemos un dibujo de la situación

**Problema trigonométrico de la doble tangente**

Cálculo de la altura de edificio, tomando los ángulos desde dos puntos de vista. Se resuelve con un sistema de ecuaciones con las tangentes de ambos ángulos.

matematicasies.com

Se trata de un problema clásico de trigonometría que se resuelve usando las tangentes de los ángulos de 31 y 72. De esa forma se obtienen dos ecuaciones y un máximo de dos incógnitas (bastaría con resolver el sistema).

Si intentamos usar senos o cosenos aparecerían más incógnitas complicando más la situación.

$\left\{ \begin{array}{lll} tg \: 72 = \frac{h}{x}\\ tg \: 31 = \frac{h}{350+x} \end{array} \right.$

Podemos usar el método de igualación despejando "h" en ambas ecuaciones:

$\left\{ \begin{array}{lll} tg \: 72 \cdot x= h\\ tg \: 31 \cdot(350+x) = h \end{array} \right.$

$tg \: 72 \cdot x= tg \: 31 \cdot(350+x)$

$tg \: 72 \cdot x= tg \: 31 \cdot 350+ tg \: 31 \cdot x$

Se podrían sustituir las tangentes por sus valores (usando la calculadora), o bien se puede dejar para hacer los cálculos al final (optaremos por dejarlos para el final).

Para resolver la ecuación de primer grado ponemos las "x" en la izquierda y los números a la derecha del signo igual.

$tg \: 72 \cdot x - tg \: 31 \cdot x= tg \: 31 \cdot 350$
$(tg \: 72 - tg \: 31) x= tg \: 31 \cdot 350$
$x= \frac{tg \: 31 \cdot 350}{tg \: 72 - tg \: 31}$

Usamos la calculadora y obtenemos un valor (aproximado) de $x=84.9 \: m$

Ahora calculamos "h" en una de las expresiones donde estaba despejada:

$h=tg \: 72 \cdot x$

$\fbox{h=261.3 \: m}$

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Mensajes

20 de marzo de 2007, 22:16

En primer lugar hacemos un esquema del problema:

Observemos los dos triángulos rectángulos de vértices ACD y BCD.
Aplicamos las tangentes a los ángulos conocidos: 31º y 72º

$\left.\begin{array}{rr} tan (72) = \frac{h}{x}\\ tan (31) = \frac{h}{x+350} \end{array} \right\}$

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: x y h

En primer lugar quitamos denominadores
$\left.\begin{array}{rr} tan (72) \cdot x= h\\ tan (31) \cdot (x+350)= h \end{array} \right\}$

Tenemos despajada $h$ en la primera ecuación. Sustituimos por su valor en la segunda.
$tan (31) \cdot (x+350)=tan (72) \cdot x$

Nos encontramos ante una ecuación de primer grado en la incógita $x$ .
Quitamos paréntesis:

$tan (31) \cdot x + tan (31) \cdot 350=tan (72) \cdot x$

Términos con $x$ a la izquierda y números a la derecha

$tan (31) \cdot x - tan (72) \cdot x = - tan (31) \cdot 350$

Sumamos (en la izquierda) todos los términos con $x$

$\left( tan (31) - tan (72) \right) \cdot x = - tan (31) \cdot 350$

Ahora ya podemos despejar $x$

$x =\frac{ - tan (31) \cdot 350}{tan (31) - tan (72)} = 84.9$

Finalmente calculamos $h$ , que la teníamos despejada antes:

$h=tan (72) \cdot x = tan (72) \cdot 84.9 = 261.3$

La altura de la torre es de $\fbox{261.3 \:\: metros}$
- 26 de mayo de 2007, 16:55
  
  BUENIZIIIMO!!..
  INCREIIBLE..
- 10 de junio de 2007, 01:32, por ana
  
  Muy bueno el problema, felicidades!
- 8 de julio de 2007, 21:26, por Pastor Puchoc Raza
  
  saludos y mi comentario sobre la solucion del problema :
  No es necesario calcular el valor de x , con solo usar la razon trigonometrica cotangente el problema se reduce en 3 lineas
  .... Pastor Puchoc (prof de trigonometria en academias preuniversitarias Lima- Peru )
  felicitaciones por publicar estos articulos por que ayudan a los alumnos a como resolver un problema de la manera mas practica posible
  mi correo es puchoc1@hotmail.com
- 9 de julio de 2007, 09:16, por Fernando
  
  Agradecemos tu colaboración por la observación realizada.
  
  www.cibermatex.com , contexto del que está extraído el vídeo, tiene por filosofía el "introducir" progresivamente a los usuarios en los distintos conceptos matemáticos.
  
  El problema al que haces referencia, está en la sección de 4º ESO "Introducción a la Trigonometría" y el objetivo inical es el uso de las Razones Fundamentales ( sen. , cos. , tag. ) para conseguir familiarizarse con el manejo de las mismas y posteriormente profundizar en sus correspondientes inversas.
  
  En el inicio a la trigonometría es conveniente fijar los conceptos de: sen. y cos. , posteriormente la tag. por tratarse del cociente entre ambas razones y en "Iniciación a Bachillerato" se hace necesario el uso de las Razones Inversas.
  
  Me reitero en al agradecimiento a tu observación y en la sección de "Ejercicios de Ampliación" correspondiente a www.cibermatex.com se incluirá la realización del problema mediante e uso de la cotangente.
  
  Saludos
  Fernando
  
  Ver en línea : http://www.cibermatex.com
- 16 de agosto de 2007, 05:59, por Luis Felipe
  
  "MUY BUENO EL VIDEO" ME GUSTARIA QUE PUSIERAS MAS PROBLEMAS PERO DEL NIVEL DE UNA OLIMPIADA
- 8 de octubre de 2007, 14:43
  
  Existe la posibilidad de enviar a esta página problemas de trigonometria, ecuaciones trigonométricas, ecuaciones de todo tipo explicadas, ¿una ecuación de segundo grado donde uno de sus terminos es un radical como se resuelve?
- 8 de octubre de 2007, 15:27, por dani
  
  No existe la posibilidad de enviar ejercicios a esta página.
  Sin embargo, sí existe la posibilidad de proponer ejercicios y preguntar dudas de Matemáticas en los foros de reciente creación: Foros de Matemáticas IES
  
  Ver en línea : FORO sobre los ejercicios de esta web
- 23 de mayo de 2011, 23:56, por El Barto
  
  Gracias, voy a 4 de ESO, me has salvado por k mi profe no tiene ni idea. si me sale bien el examen te lo dedico XD
  :)
- 31 de mayo de 2011, 19:23, por cuartodelaeso
  
  mu bueno se agradece
- 10 de junio de 2011, 21:06, por sergio
  
  me ha encantado pero no se como se despeja "X"
  
  x=-tan(31)·350/ tan (31)-tan(72)= 84.9
  
  ¿Como se realiza esta operación?
  
  Muchas gracias!!!
- 2 de septiembre de 2011, 22:08, por Rafaal
  
  yo he resuelto este problema mediante la ley del seno, en donde:
  
  sen 31°:sen 41°::BC:350. Despejando obtenemos que BC es 274.77m
  
  Luego ya es sencillo: se procede con sen de 72° que es igual a CD/BC. Por regla se obtiene que CD es 261.32m.
- 14 de octubre de 2011, 22:51, por jesi.3ª ravetti
  
  hola!soy jesi voy a 3ª ravetti, hoy tengo examen de trigonometria y no entiendo nada...¿como me doy cuenta que formula debo utilizar?
- 3 de agosto de 2012, 15:03, por Tintxo
  
  Todo perfectamente correcto, pero añadiría un detalle. La altura de la torre es de 261.3 metros más la distancia en metros desde el suelo a los ojos de quien observa la torre.
- 2 de diciembre de 2012, 03:04, por jesica
  
  hola mi nombre es jesica y tengo un problema de trigonometria y no se como resolverlo me podrian ayudar?es asi.
  Un triangulo rectangulo con su area maxima,tiene dos catetos y la sumatoria de los mismos es de 10cm,cuanto mide cada cateto?
- 2 de diciembre de 2012, 09:20, por dani
  
  Las dudas las resolvemos en nuestra
  Aula Virtual.
  Por cierto, no es un problema de trigonometría, sino de optimización.
9 de febrero de 2020, 16:22, por Kevin Yesid Gómez Quintero

Desde un punto A qué está sobre el piso, hasta el pie de una roca hay 100 m, se observa el nido de un águila con un ángulo de elevación de 38°, desde el mismo punto se observa la parte más alta de la roca con un ángulo de elevación de 60°, ¿Cual es la distancia que hay entre el nido y la parte más alta de la roca?
- 9 de febrero de 2020, 17:55, por dani
  
  Para consultar dudas o proponer ejercicios debe hacerlo en nuestro foro:
  
  https://foro-dudas.gratis/