Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Considera los tres planos siguientes:

$\pi_1 \equiv x+y+z=1 \qquad , \qquad \pi_2 \equiv x-y+z=2 \qquad$ y
$\qquad \pi_3 \equiv 3x+y+3z=5$

¿Se cortan $\pi_1$ y $\pi_2$ ?. ¿Hay algún punto que pertenezca a los tres planos?

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Considera el punto $A(0, -3, 1)$ , el plano $\pi \equiv 2x-2y+3z=0$ y la recta $r \equiv x+3=y=\frac{z-3}{2}$ .

– (a) Determina la ecuación del plano que pasa por $A$ y contiene a $r$ .
– (b) Determina la ecuación de la recta que pasa por $A$ , es paralela a $\pi$ y corta a $r$ .

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Considera el punto $A(0, -3, 1)$ , el plano $\pi \equiv 2x-2y+3z=0$ y la recta $r \equiv x+3=y=\frac{z-3}{2}$ .

– (a) Determina la ecuación del plano que pasa por $A$ y contiene a $r$ .
– (b) Determina la ecuación de la recta que pasa por $A$ , es paralela a $\pi$ y corta a $r$ .

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Considera los puntos $A(2, 0, 1)$ , $B(-1, 1, 2)$ , $C(2, 2, 1)$ y $D(3, 1, 0)$ .

– (a) Calcula la ecuación del plano $\pi$ que contiene a los puntos $B$ , $C$ y $D$
– (b) Halla el punto simétrico de $A$ respecto del plano $\pi$ .

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Considera el punto $A(1,-2,1)$ y la recta $r$ definida por las ecuaciones
$\left\{ \begin{array}{lll} x+y &=&2 \\2x+y+z&=&7 \end{array} \right.$

– a) Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A
– b) Calcula la distancia del punto A a la recta r

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Sea la recta $r$ definida por
$\left\{ \begin{array}{lll} 3x+2y &=&0 \\3x+z&=&0 \end{array} \right.$

– a) Determine la ecuación del plano perpendicular a $r$ que pasa por el punto $P(1,1,1)$
– b) Halla los puntos de r cuya distancia al origen es de 4 unidades

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Halla la ecuación del plano que es paralelo a la recta $r$ de ecuaciones
$\left\{ \begin{array}{ll} x-2y+11=0 \\ 2y+z-19 = 0 \end{array} \right.$
y contiene a la recta $s$ definida por
$\left\{ \begin{array}{lll} x= 1 - 5\lambda \\ y = -2 + 3\lambda \\ z = 2 + 2\lambda \end{array} \right.$

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Considera los planos $\pi_1$ , $\pi_2$ y $\pi_3$ dados respectivamente por las ecuaciones
$x+y=1$ , $ay+z=0$ y $x+(1+a)y+az = a+1$
– a) ¿Cuánto ha de valer $a$ para que no tengan ningún punto en común?
– b) Para $a=0$ , determina la posición relativa de los planos.

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El punto $M(1,-1,0)$ es el centro de un paralelogramo y $A(2,1,-1)$ y $B(0,-2,3)$ son dos vértices consecutivos del mismo.

– (a) Halla la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo.
– (b) Determina uno de los otros dos vértices y calcula el área de dicho paralelogramo.

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De un paralelogramo $ABCD$ conocemos tres vértices consecutivos: $A(2, -1, 0)$ , $B(-2, 1, 0)$ y $C(0, 1, 2)$ .

– a) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el centro del paralelogramo y es perpendicular al plano que lo contiene.
– b) Halla el área de dicho paralelogramo.
– c) Calcula el vértice $D$

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Considera el punto $P(1,0,2)$ y la recta $r$ dada por las ecuaciones
$\left\{ \begin{array}{lll} 2x-y-4=0 \\y+2z-8=0 \end{array} \right.$
– a) Calcula la ecuación del plano que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$
– b) Calcula el punto simétrico de $P$ respecto de la recta $r$

📝 Ejercicios de planos