Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Sea $f : R \longrightarrow R$ la función definida por $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ . Calcula los valores de a, b, c y d sabiendo que f verifica:

– El punto (0,1) es un punto de inflexión de la gráfica de f
– f tiene un mínimo local en el punto de abcisa x=1
– La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abcisa x=2 tiene pendiente 1

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Se divide un segmento de longitud L=20 cm. en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro un rectángulo en el que la base es el doble que la altura. Calcula la longitud de cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea mínima

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De entre todos los rectángulos cuya área mide $16 cm^2$ , determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud

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Sea $f : R \longrightarrow R$ la función definida por

$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} \frac{1}{x-1} & si & x < 0 \\ \\ x^2-3x-1 & si & x \geq 0 \end{array} \right.$

– a) Estudia la continuidad y dervabilidad
– b) Determina sus asíntotas y sus extremos relativos
– c) Esboza la gráfica de f

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Se sabe que la función $f: R \longrightarrow R$ definida por

$f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$

tiene extremos relativos en (0,0) y en (2,2). Calcula a,b,c,d

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Considera el punto $A(1,-2,1)$ y la recta $r$ definida por las ecuaciones
$\left\{ \begin{array}{lll} x+y &=&2 \\2x+y+z&=&7 \end{array} \right.$

– a) Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A
– b) Calcula la distancia del punto A a la recta r

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Considera el punto $P(1,0,0)$ , la recta $r$ definida por $x-3=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{-2}$ y la recta $s$ definida por $(x,y,z) = (1,1,0) + \lambda (-1, 2, 0)$ .

– (a) Estudia la posición relativa de $r$ y $s$
– (b) Halla la ecuación del plano que pasando por $P$ es paralelo a $r$ y $s$ .

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Se considera la recta r definida por
$\left\{ \begin{array}{lll} x &=&1 \\y&=&1 \\z&=&\lambda -2 \end{array} \right.$
y la recta s definida por
$\left\{ \begin{array}{lll} x &=&\mu \\y&=&\mu-1 \\z&=&-1 \end{array} \right.$
Halla la ecuación de la recta perpendicular común a r y s

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Sea la recta $r$ definida por
$\left\{ \begin{array}{lll} 3x+2y &=&0 \\3x+z&=&0 \end{array} \right.$

– a) Determine la ecuación del plano perpendicular a $r$ que pasa por el punto $P(1,1,1)$
– b) Halla los puntos de r cuya distancia al origen es de 4 unidades

📝 Ejercicios de MatemáticasII_Andalucía_2009