Matrices, Determinantes y Sistemas

(245) ejercicios de Matemáticas PAU Andalucía

(10) ejercicios de Mat. C. Sociales II — Álgebra (Matrices, Determinantes y Sistemas)

Se considera la matriz $A=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & a \end{array} \right)$

a) Determine para qué valores del parámetro $a$ , la matriz $A$ tiene inversa.
b) Para $a = 1$ , calcule la inversa de $A$ .
c) Para $a = 1$ , resuelva la ecuación matricial $A \cdot X = B^t$ , siendo $B=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1 \end{array} \right)$

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Se consideran las matrices
$A=\left( \begin{array}{ccc} a & 4 \\ 6 & 8 \end{array} \right)$ $\: \: , \: \:B=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{array} \right) \: \quad$ y $\: C=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 \end{array} \right)$

a) Calcule el valor del parámetro $a$ para que la matriz $A$ no tenga inversa.
b) Para $a = 3$ , resuelva la ecuación matricial $X \cdot A - X \cdot B = C$ .
c) Para $a = 3$ , compruebe que $A^2 = 11 \cdot A$ y exprese $A^8$
en función de la matriz $A$ .

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– a) Determine los valores de x e y que hacen cierta la igualdad

$\left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 3 & -1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ -y \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} 1 & x \\ y & -1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array} \right)$

– b) Resuelva la ecuación matricial

$X \cdot \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{array} \right) - 2 \cdot \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{array} \right)$

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Sean las matrices
$A=\left( \begin{array}{cc} \frac{1}{5} & 0 \\ -\frac{2}{5} & \frac{3}{5} \end{array} \right)$
,
$B=\left( \begin{array}{cc} \frac{3}{5} & -1 \\ \frac{4}{5} & \frac{4}{5} \end{array} \right)$
,
$C= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} \right)$

– a) Resuelva la ecuación matricial $(2A+B) \cdot X = 3A - B$
– b) Determine en cada caso la dimensión de la matriz D para que se puedan realizar las siguientes operaciones: $C \cdot D+A$ , $C^t \cdot D \cdot C$ , $D \cdot C^t$ , $C \cdot D \cdot C^t$

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Sean las matrices
$A= \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \qquad \quad B=\left( \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{array} \right)$

a) Efectúe, si es posible, los siguientes productos:

– a1) $A \cdot A^t$
– a2) $A^t \cdot A$
– a3) $A \cdot B$

b) Resuelva la siguiente ecuación matricial $A \cdot A^t \cdot X = B$

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