Selectividad Andalucía 2021-1-A2

Se consideran las matrices
$A=\left( \begin{array}{ccc} a & 4 \\ 6 & 8 \end{array} \right)$ $\: \: , \: \:B=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{array} \right) \: \quad$ y $\: C=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 \end{array} \right)$

a) Calcule el valor del parámetro para que la matriz no tenga inversa.
b) Para , resuelva la ecuación matricial $X \cdot A - X \cdot B = C$ .
c) Para , compruebe que $A^2 = 11 \cdot A$ y exprese
en función de la matriz .

SOLUCIÓN

a) Para que no tenga inversa su determinante tiene que ser cero.

$\nexists A^{-1} \iff |A|=0 \iff \left| \begin{array}{ccc} a & 4 \\ 6 & 8 \end{array} \right| = 0 \iff 8a-24=0 \iff$
$\iff 8a=24 \iff a=\frac{24}{8} \iff \fbox{a=3}$

b) $X \cdot A - X \cdot B = C$
Veamos cuál es la dimensión de la matriz .
$X \cdot A$ y $X \cdot B$ deben tener la misma dimensión (para poder restarlas) y debe coincidir con la dimensión de , que es $1 \times 2$

Por tanto $X \cdot A$ tiene que se de dimensión $1 \times 2$ , con lo que tiene que ser de dimensión $1 \times 2$

Podemos llamar a sus elementos así: $X=\left( \begin{array}{ccc} x & y \end{array} \right)$

Entonces la ecuación matricial quedaría así:

$X \cdot A - X \cdot B = C$

$\left( \begin{array}{ccc} x & y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{ccc} x & y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{ccc} 3x+6y & 4x+8y \end{array} \right) - \left( \begin{array}{ccc} 2x+3y & 2x+3y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{ccc} x+3y & 2x+5y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 \end{array} \right)$

Igualamos elemento a elemento y obtenemos el sistema:

$\left. x + 3y = 1 \atop 2x + 5y = 2 \right\}$

Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas obtenemos como soluciones: $x=1 \quad ; \quad y=0$

Por tanto, la solución de la ecuación matricial es:

$X=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \end{array} \right)$

Otra manera de resolver la ecuación matricial

Sin necesidad de conocer cuál es la dimensión de la matriz , podemos resolver la ecuación matricial de la siguiente manera:

$X \cdot A - X \cdot B = C$

$X \cdot (A - B) = C$

$X \cdot \underbrace{(A - B) \cdot (A-B)^{-1}}_{I} = C \cdot (A-B)^{-1}$

$X \ = C \cdot (A-B)^{-1}$

Una vez que hemos despejado la matriz , ahora debemos hacer los cálculos:
Primero calculamos y después su inversa $(A-B)^{-1}$ .
Finalmente haríamos el producto $C \cdot (A-B)^{-1}$

$A - B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array} \right)$

$(A - B)^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{array} \right)$

$X=C \cdot (A - B)^{-1} =\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \end{array} \right)$

c) $A^2 \stackrel{?}{=} 11 \cdot A$

$\left( \begin{array}{ccc} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{array} \right) =11 \cdot \left( \begin{array}{ccc} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{array} \right)$