Selectividad Andalucía 2021-Julio-A1

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Se considera la matriz A=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & a \end{array} \right)

a) Determine para qué valores del parámetro a , la matriz A tiene inversa.
b) Para a = 1, calcule la inversa de A.
c) Para a = 1, resuelva la ecuación matricial A \cdot X = B^t , siendo B=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1 \end{array} \right)

SOLUCIÓN

a) Para que exista la inversa el determinande debe ser distinto de cero

|A|=\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & a \end{array} \right| = 0+0+0-0-8-a = -8-a

\exists A^{-1} \iff |A| \neq 0 \iff -8-a \neq 0 \iff -8\neq a

Por tanto, tiene inversa para cualquier valor de a excepto -8

b) Si a = 1 \longrightarrow |A|=-8-1 \longrightarrow |A|=-9

Calculamos la inversa siguiendo la teoría: Calcular matriz inversa usando determinantes y obtenemos:

A^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & \frac{-2}{9} \\ & & \\ \frac{1}{9} & \frac{-2}{9} & \frac{4}{9} \\ & & \\ \frac{-2}{9} & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} \end{array} \right)

c) A \cdot X = B^t

A^{-1} \cdot A \cdot X = A^{-1} \cdot B^t

X = A^{-1} \cdot B^t

X=\left( \begin{array}{ccc} \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & \frac{-2}{9} \\ & & \\ \frac{1}{9} & \frac{-2}{9} & \frac{4}{9} \\ & & \\ \frac{-2}{9} & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ \\ 1 \\ -1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \frac{4}{9} \cdot 0 + \frac{1}{9} \cdot 1 + \frac{-2}{9} \cdot (-1) \\ \\ \frac{1}{9} \cdot 0 + \frac{-2}{9} \cdot 1 + \frac{4}{9} \cdot (-1) \\ \\ \frac{-2}{9} \cdot 0 + \frac{4}{9} \cdot 1 + \frac{1}{9} \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \frac{3}{9} \\ \\ \frac{-6}{9} \\ \\ \frac{3}{9} \end{array} \right)

Simplificando obtenemos finalmente:

X = \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{3} \\ \\ \frac{-2}{3} \\ \\ \frac{1}{3} \end{array} \right)