Selectividad Andalucía 2013-2-B1

| 3 |

Sean las matrices
A=\left( \begin{array}{cc} \frac{1}{5} & 0 \\ -\frac{2}{5} & \frac{3}{5} \end{array} \right)
,
B=\left( \begin{array}{cc} \frac{3}{5} & -1 \\ \frac{4}{5} & \frac{4}{5} \end{array} \right)
,
C= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} \right)

– a) Resuelva la ecuación matricial (2A+B) \cdot X = 3A - B
– b) Determine en cada caso la dimensión de la matriz D para que se puedan realizar las siguientes operaciones: C \cdot D+A , C^t \cdot D \cdot C , D \cdot C^t , C \cdot D \cdot C^t

SOLUCIÓN

– a) Aunque las matrices tienen fracciones, se pueden usar decimales puesto que todas las fracciones son quintos (decimales exactos).

(2A+B) \cdot X = 3A - B (sustituimos las matrices conocidas)

\left[ 2 \cdot \left(\begin{array}{cc} \frac{1}{5} & 0 \\ -\frac{2}{5} & \frac{3}{5}\end{array}\right)+ \left(\begin{array}{cc} \frac{3}{5} & -1 \\ \frac{4}{5} & \frac{4}{5}\end{array}\right) \right] \cdot X = 3 \cdot \left(\begin{array}{cc} \frac{1}{5} & 0 \\ -\frac{2}{5} & \frac{3}{5}\end{array}\right) - \left(\begin{array}{cc} \frac{3}{5} & -1 \\ \frac{4}{5} & \frac{4}{5}\end{array}\right)

Realizamos las operaciones posibles (a izquierda y derecha del signo igual)

\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 2\end{array}\right)\cdot X =\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -2 & 1\end{array}\right)

Ahora podemos concluir claramente que la matriz X es de dimensión 2 \times 2, por lo que podemos asignarle incógnitas a sus elementos:

\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -2 & 1\end{array}\right)

Operamos a la izquierda del signo igual:
\left(\begin{array}{cc} a-c & b-d \\ 2c & 2d \end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -2 & 1\end{array}\right)

Igualando elemento a elemento obtenemos:

a=-1 , c=-1 , b=1.5 , d=0.5

Por tanto la matriz es X =\left(\begin{array}{cc} -1 & 1.5 \\ -1 & 0.4 end{array} \right)

– b) C \cdot D+A \longrightarrow D es de dimensión 3 \times 2
C^t \cdot D \cdot C \longrightarrow D es de dimensión 2 \times 2
D \cdot C^t \longrightarrow D es de dimensión n \times 3 (con n \in N
C \cdot D \cdot C^t \longrightarrow D es de dimensión 3 \times 3