– El producto escalar de dos vectores
y
es un número. La fórmula que permite calcular su valor es:
![\vec{u} \cdot \vec{v} =|\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos (\vec{u},\vec{v} ) \vec{u} \cdot \vec{v} =|\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos (\vec{u},\vec{v} )](local/cache-vignettes/L210xH42/603147fe1654ad28a858080621079e98-646f6.png?1688071990)
donde
![|\vec{u}| |\vec{u}|](local/cache-vignettes/L30xH42/3654d1cab70d28cb983db02a5d91232e-b4486.png?1688071990)
y
![|\vec{v}| |\vec{v}|](local/cache-vignettes/L30xH42/0aac63a6b8fdf2f2c0a5b184c462c623-b9874.png?1688046974)
son los módulos de los dos vectores y
![\cos (\vec{u},\vec{v}) \cos (\vec{u},\vec{v})](local/cache-vignettes/L75xH42/0b55b1848183a3708451a8e7a699e0b4-4d905.png?1688071990)
indica el coseno del ángulo que forman los orígenes de ambos vectores.
– Podemos calcular el ángulo que forman dos vectores despejando en la fórmula anterior:
![\cos (\vec{u},\vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} \cos (\vec{u},\vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}](local/cache-vignettes/L165xH68/bd3d0beb4467ef0ef8103e7372ad0f45-74b73.png?1688070564)
– Si conocemos las componentes (coordenadas) de los vectores
y
, el producto escalar se puede obtener de manera más fácil usando la fórmula:
![\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2](local/cache-vignettes/L190xH42/bcec11c849ce29aaf0b7230916d9d681-d1036.png?1688071990)
– Dos vectores son paralelos cuando sus coordenadas sean proporcionales.
Ejemplo: los vectores
y
son paralelos
– Dos vectores, no nulos,
y
son ortogonales (perpendiculares), si y solo si su producto escalar vale 0. Es decir:
![\vec{u} \perp \vec{v} \Longleftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v}=0 \vec{u} \perp \vec{v} \Longleftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v}=0](local/cache-vignettes/L170xH42/84465dce6f6f143641ca16a1998d8755-ff4f1.png?1688071990)
Un vector ortogonal al vector
es el vector
(cambiamos de orden sus componentes y le cambiamos el signo a una de ellas)