Cálculo de matriz inversa

|

Sea la matriz A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{array} \right)
Justifica por qué existe la inversa y calcúlala.

SOLUCIÓN

Para que tenga inversa, además de ser una matriz cuadrada, su determinante debe ser distinto de cero.

|A| = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{array} \right|=2

|A| = 2 \neq 0 \longrightarrow \exists A^{-1}

Para calcular la inversa usaremos el método descrito en Matriz inversa

A^{-1}=\frac{1}{|A|} \cdot \left( Adj(A)\right)^t

Primero calculamos los menores complementarios:

\alpha_{11} = \left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{array} \right|=1 \quad \alpha_{12} = \left| \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{array} \right|=2 \quad \alpha_{13} = \left| \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{array} \right|=-1

\alpha_{21} = \left| \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ -1 & 1 \end{array} \right|=-1 \quad \alpha_{22} = \left| \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{array} \right|= 0\quad \alpha_{23} = \left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & -1 \end{array} \right|=-1

\alpha_{31} = \left| \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right|=1 \quad \alpha_{32} = \left| \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{array} \right|=2 \quad \alpha_{33} = \left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array} \right|=1

Ahora expresamos la matriz Adjunta (recordando cambiar el signo a los de suma de índices impar, que expreso en color azul)

Adj(A) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & \color{blue}{-2} & -1 \\ \color{blue}{1} & 0 & \color{blue}{1} \\ 1 & \color{blue}{-2} & 1 \end{array} \right)

\left(Adj(A)\right)^t = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \end{array} \right)

Ahora sólo nos queda dividir por el valor de |A|=2

A^{-1} = \frac{1}{2} \cdot \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -1 & 0 & -1 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array} \right)