Ecuaciones Logarítmicas

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Resuelve la ecuación
2 \cdot \ln (x-3) = \ln x - \ln 4

SOLUCIÓN

En primer lugar debemos repasar los pasos a seguir para resolver ecuaciones logarítmicas

2 \cdot \ln (x-3) = \ln x - \ln 4


\ln (x-3)^2 = \ln \frac{x}{4}


\cancel{\ln} (x-3)^2 = \cancel{\ln} \frac{x}{4}


(x-3)^2 =\frac{x}{4}


Aplicamos las fórmulas de los productos notables

x^2 + 3^3 - 2 \cdot x \cdot 3 =\frac{x}{4}


x^2 -6x + 9 =\frac{x}{4}


Quitamos denominadores (pasando el 4, que está dividiendo, multiplicando al otro miembro)

4 \cdot (x^2 -6x + 9) = x


4x^2 -24x + 36 = x


4x^2 -25x + 36 = 0


Resolvemos la ecuación de 2º grado

\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{25+7}{8}=4\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-(-25)\pm \sqrt{(-25)^2-4 \cdot4\cdot36}}{2 \cdot4}= \frac{25\pm \sqrt{49}}{8}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{25-7}{8}=\frac{9}{4}\end{array}

La solución x=\frac{9}{4} = 2.25 no es válida porque si la sustituimos en la ecuación original produce logaritmos negativos.
2 \cdot \ln (2.25-3) = \ln 2.25 - \ln 4

La única solución correcta es \fbox{x=4}