Ecuaciones matriciales 4179

Sean las matrices A = \left(
\begin{array}{cc}
6 & 0
\\ 2 & 4
\end{array}
\right) , B = \left(
\begin{array}{c}
-4
\\ 6
\end{array}
\right) , C = \left(    -2 \quad -2 \right)

a) Justifique cuáles de las siguientes operaciones se pueden realizar y efectúelas
cuando sea posible:
 B + 2 C \cdot A
 A - \left( B \cdot C \right)^t

b) Resuelva la siguiente ecuación matricial:  \frac{1}{5} (B + A \cdot X) = C^t

SOLUCIÓN

a)  B + 2 C \cdot A
Podemos hacer la operación  2 C \cdot A: al multiplicar una matriz de (1x2) por una de (2x2) obtendríamos una matriz de dimension (1x2), la cual no se podría sumar con la matriz B (2x1) al no tener la misma dimensión.
Por lo tanto esta operación NO se puede hacer

 A - \left( B \cdot C \right)^t
La operación B·C (2x1) · (1x2) se puede hacer obteniendo una matriz de (2x2)
Al hacer su traspuesta obtendremos una matriz de (2x2) que se podrá sumar o restar con la matiz A (2x2) al tener ambas la misma dimensión.
Por lo tanto Si se puede hacer la operación completa y obtendríamos:
 A - \left( B \cdot C \right)^t  =
 \left(
\begin{array}{cc}
6 & 0
\\ 2 & 4
\end{array}
\right) - \left( \left(
\begin{array}{c}
-4
\\ 6
\end{array}
\right) \cdot \left(    -2 \quad -2 \right) \right)^t=

 \left(
\begin{array}{cc}
6 & 0
\\ 2 & 4
\end{array}
\right) -  \left(
\begin{array}{cc}
8 & 8
\\ -12 & -12
\end{array}
\right)^t =

 \left(
\begin{array}{cc}
6 & 0
\\ 2 & 4
\end{array}
\right) -  \left(
\begin{array}{cc}
8 & -12
\\ 8 & -12
\end{array}
\right) = \fbox{\left(
\begin{array}{cc}
-2 & 12
\\ -6 & 16
\end{array}
\right) }

 \frac{1}{5} (B + A \cdot X) = C^t
Para que AX se pueda sumar con B, que es de dimensión (2x1), tiene que tener también dimensión (2x1).
Como A es de (2x2), entonces X tiene que ser de (2x1)

Entonces podemos expresar la ecuación matricial de la forma:
 \frac{1}{5} (B + A \cdot X) = C^t
 \frac{1}{5} \cdot \left( \left(
\begin{array}{c}
-4
\\ 6
\end{array}
\right) + \left(
\begin{array}{cc}
6 & 0
\\ 2 & 4
\end{array}
\right)  \cdot  \left(
\begin{array}{c}
x
\\ y
\end{array}
\right) \right) = \left(
\begin{array}{c}
-2
\\ -2
\end{array}
\right)

  \left(
\begin{array}{c}
-4
\\ 6
\end{array}
\right) + \left(
\begin{array}{cc}
6 & 0
\\ 2 & 4
\end{array}
\right)  \cdot  \left(
\begin{array}{c}
x
\\ y
\end{array}
\right)  = 5 \cdot \left(
\begin{array}{c}
-2
\\ -2
\end{array}
\right)

  \left(
\begin{array}{c}
-4
\\ 6
\end{array}
\right) + \left(
\begin{array}{c}
6x + 0y
\\ 2x+4y
\end{array}
\right)  =  \left(
\begin{array}{c}
-10
\\ -10
\end{array}
\right)

   \left(
\begin{array}{c}
-4 + 6x
\\ 6 + 2x+4y
\end{array}
\right)  =  \left(
\begin{array}{c}
-10
\\ -10
\end{array}
\right)

La igualdad de matrices anterior nos genera el sistema de ecuaciones siguiente:
  \left.
\begin{array}{c}
-4 + 6x = -10
\\ 6 + 2x+4y = -10
\end{array}
\right\}
Al resolver el sistema obtenemos como soluciones:
x=-1 ; \quad y=-7/2

Por lo tanto, la solución a la ecuación matricial es:

\fbox{X = \left(
\begin{array}{c}
-1
\\ -7/2
\end{array}
\right) }