Ejercicio Geometría en el espacio

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Considera los puntos A(1,0,2) , B(-1,3,1) y C(2,1,2)

– (a) Halla la ecuación del plano que contiene a A, B y C
– (b) Halla el área del triángulo de vértices A, B y C

SOLUCIÓN

– (a) Para determinar el plano usaremos un punto (A) y dos vectores \vec{AB}=(-2,3,-1) y \vec{AC}=(1,1,0) (ver teoría)

\left| \begin{array}{ccc} x-1 & y & z-2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right| = 0
Resolviendo el determinante y simplificando obtenemos
\fbox{x-y-5z+9=0}

– (b) El área del triángulo se calcula según la teoría
A = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC} |

\vec{AB} \times \vec{AC}= \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} &\vec{j} &\vec{k} \\ -2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right| = \vec{i} - \vec{j} -5\vec{k}

A = \frac{1}{2} \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-5)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{27} u^2

(u^2 significa unidades cuadradas .. puesto que es una superficie)