Ejercicio Programación Lineal 4176

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Un fabricante diseña pantalones y camisas. Para ello dispone de 50 metros de tejido de algodón y 124 metros de tejido de lino. Cada pantalón precisa 0.75 metros de algodón y 2 metros de lino. Para cada camisa se necesitan 0.5 metros de algodón y 1 metro de lino. El precio de mercado del pantalón es de 40 euros y el de la camisa de 25 euros. Se trata de encontrar el número de pantalones y camisas que debe diseñar el fabricante para obtener unos ingresos máximos.

SOLUCIÓN

Pantalones Camisas Restricciones Inecuaciones
Algodón 0.75 0.5 Máximo 50 0.75x+0.5y \leq 50
Lino 2 1 Máximo 124 2x+y \leq 124
Cantidad x y x \geq 0 \quad ; \quad y \geq 0
Precio 40 25

Ingresos: 40x+25y
Función Objetivo: F(x,y)=40x+25y

Las inecuaciones x \geq 0 \quad ; \quad y \geq 0 nos reducen la región factible al cuadrante superior derecho.
Ahora debemos representar las otras dos inecuaciones, que nos acotarán aún más la región factible.

Representamos la recta 0.75x+0.5y=50 tomando un par de puntos:
Si x=0 \rightarrow y=\frac{50}{0.5}=100 \rightarrowPunto (0,100)
Si y=0 \rightarrow x=\frac{50}{0.75}=\frac{200}{3} \rightarrowPunto (\frac{200}{3},0)
Dibujamos la recta (uniendo ambos puntos) y comprobamos cuál es el semiplano solución.
El punto (0,0) cumple la inecuación 0.75 \cdot 0+0.5 \cdot 0 \leq 50 por lo que el semiplano solución es la parte donde está el (0,0)

La solución provisional quedará así:

Pero aún nos falta otra inecuación

Representamos la recta 2x+y=124 tomando un par de puntos:
Si x=0 \rightarrow y=124 \rightarrowPunto (0,124)
Si y=0 \rightarrow x=62 \rightarrowPunto (62,0)
Dibujamos la recta (uniendo ambos puntos) y comprobamos cuál es el semiplano solución.
El punto (0,0) cumple la inecuación 2 \cdot 0+ 0 \leq 124 por lo que el semiplano solución es la parte donde está el (0,0)

Por tanto nos queda como solución final el siguiente recinto coloreado:

Ahora debemos aplicar la función objetivo a los 4 vértices.
Tres de los vértices son conocidos: (0,0) , (60,0) y (0,100). Tenemos que calcular el cuarto vértice resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de las dos rectas que pasan por dicho vértice:

\left. \begin{array}{ccc} 0.75x + 0.5y & = & 50 \\ 2x+y & = & 124 \\ \end{array} \right\}

Al resolver el sistema obtenemos como resultado x=48 ; y =28 con lo que el cuarto vértice es el punto (48,28)

Aplicamos la función objetivo F(x,y)=40x+25ya los 4 vértices:

F(0,0)=40 \cdot 0 + 25 \cdot 0 = 0
F(60,0)=40 \cdot 60 + 25 \cdot 0 = 2400
F(0,100)=40 \cdot 0 + 25 \cdot 100 = 2500
F(48,28)=40 \cdot 48 + 25 \cdot 28 = 2620

Conclusión: Los ingresos máximos serían de 2620 euros y se obtendrían diseñando 48 pantalones y 28 camisas