Ejercicio matrices 4178

Sean las matrices A = \left(
\begin{array}{cc}
0 & 2
\\ 3 & 0
\end{array}
\right) y B = \left(
\begin{array}{cc}
a & b
\\ 6 & 1
\end{array}
\right)
- a) Calcule los valores de a y b para que A \cdot B = B \cdot A
- b) Para a=1 y b=0, resuelva la ecuación matricial X \cdot B - A = I_2

SOLUCIÓN

a) A \cdot B = B \cdot A
\left(
\begin{array}{cc}
0 & 2
\\ 3 & 0
\end{array}
\right) \cdot \left(
\begin{array}{cc}
a & b
\\ 6 & 1
\end{array}
\right)  = \left(
\begin{array}{cc}
a & b
\\ 6 & 1
\end{array}
\right) \cdot \left(
\begin{array}{cc}
0 & 2
\\ 3 & 0
\end{array}
\right)

\left(
\begin{array}{cc}
0 \cdot a + 2 \cdot 6 & 0 \cdot b + 2 \cdot 1
\\ 3 \cdot a + 0 \cdot 6 & 3 \cdot b + 0 \cdot 1
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{cc}
a \cdot 0 + b \cdot 3 & a \cdot 2 + b \cdot 0
\\ 6 \cdot 0 + 1 \cdot 3 & 6 \cdot 2 + 1 \cdot 0
\end{array}
\right)

\left(
\begin{array}{cc}
12 & 2
\\ 3a & 3b
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{cc}
3b & 2a
\\ 3 & 6 12
\end{array}
\right)

De la igualdad de matrices resultan las siguientes ecuaciones:

 \left\{
\begin{array}{ll}
12 = 3b \\
2 = 3a \\
3a = 3 \\
3b = 12
\end{array}
\right.
del sistema se obtiene que:
\fbox{a=1} \quad \fbox{b=4}

b) X \cdot B - A = I_2
Como a=1 y b=0, tendremos:

\left(
\begin{array}{cc}
x & y
\\ z & t
\end{array}
\right)  \cdot \left(
\begin{array}{cc}
1 & 0
\\ 6 & 1
\end{array}
\right)  - \left(
\begin{array}{cc}
0 & 2
\\ 3 & 0
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{cc}
1 & 0
\\ 0 & 1
\end{array}
\right)

\left(
\begin{array}{cc}
x+6y & y
\\ z+6t & t
\end{array}
\right)   - \left(
\begin{array}{cc}
0 & 2
\\ 3 & 0
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{cc}
1 & 0
\\ 0 & 1
\end{array}
\right)

\left(
\begin{array}{cc}
x+6y & y-2
\\ z+6t-3 & t
\end{array}
\right)  = \left(
\begin{array}{cc}
1 & 0
\\ 0 & 1
\end{array}
\right)

De la igualdad de matrices resultan las siguientes ecuaciones:

 \left\{
\begin{array}{ll}
x+6y = 1 \\
y-2 = 0
\end{array}
\right.
 \left\{
\begin{array}{ll}
z+6t-3 = 0 \\
t = 1
\end{array}
\right.

Resolviendo ambos sistemas, obtenemos como soluciones:
x=-11 ; \quad y=2 ; \quad z=-3 ; \quad t=1

Por tanto, la matriz X que nos pedían es la siguiente:

\fbox{X = \left(
\begin{array}{cc}
-11 & 2
\\ -3 & 1
\end{array}
\right) }