Ejercicio matrices 4178

Sean las matrices A = $\left( \begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 3 & 0 \end{array} \right)$ y B = $\left( \begin{array}{cc} a & b \\ 6 & 1 \end{array} \right)$
– a) Calcule los valores de a y b para que $A \cdot B = B \cdot A$
– b) Para y , resuelva la ecuación matricial $X \cdot B - A = I_2$

SOLUCIÓN

a) $A \cdot B = B \cdot A$
$\left( \begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 3 & 0 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} a & b \\ 6 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ 6 & 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 3 & 0 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{cc} 0 \cdot a + 2 \cdot 6 & 0 \cdot b + 2 \cdot 1 \\ 3 \cdot a + 0 \cdot 6 & 3 \cdot b + 0 \cdot 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} a \cdot 0 + b \cdot 3 & a \cdot 2 + b \cdot 0 \\ 6 \cdot 0 + 1 \cdot 3 & 6 \cdot 2 + 1 \cdot 0 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{cc} 12 & 2 \\ 3a & 3b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 3b & 2a \\ 3 & 6 12 \end{array} \right)$

De la igualdad de matrices resultan las siguientes ecuaciones:

$\left\{ \begin{array}{ll} 12 = 3b \\ 2 = 3a \\ 3a = 3 \\ 3b = 12 \end{array} \right.$

del sistema se obtiene que:
$\fbox{a=1} \quad \fbox{b=4}$

b) $X \cdot B - A = I_2$
Como y , tendremos:

$\left( \begin{array}{cc} x & y \\ z & t \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 6 & 1 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 3 & 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{cc} x+6y & y \\ z+6t & t \end{array} \right) - \left( \begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 3 & 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$