Ejercicio matrices 4178

, por dani

|

a) A \cdot B = B \cdot A
\left( \begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 3 & 0 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} a & b \\ 6 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ 6 & 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 3 & 0 \end{array} \right)

\left( \begin{array}{cc} 0 \cdot a + 2 \cdot 6 & 0 \cdot b + 2 \cdot 1 \\ 3 \cdot a + 0 \cdot 6 & 3 \cdot b + 0 \cdot 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} a \cdot 0 + b \cdot 3 & a \cdot 2 + b \cdot 0 \\ 6 \cdot 0 + 1 \cdot 3 & 6 \cdot 2 + 1 \cdot 0 \end{array} \right)

\left( \begin{array}{cc} 12 & 2 \\ 3a & 3b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 3b & 2a \\ 3 & 6 12 \end{array} \right)

De la igualdad de matrices resultan las siguientes ecuaciones:

\left\{ \begin{array}{ll} 12 = 3b \\ 2 = 3a \\ 3a = 3 \\ 3b = 12 \end{array} \right.

del sistema se obtiene que:
\fbox{a=1} \quad \fbox{b=4}

b) X \cdot B - A = I_2
Como a=1 y b=0, tendremos:

\left( \begin{array}{cc} x & y \\ z & t \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 6 & 1 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 3 & 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)

\left( \begin{array}{cc} x+6y & y \\ z+6t & t \end{array} \right) - \left( \begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 3 & 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)

\left( \begin{array}{cc} x+6y & y-2 \\ z+6t-3 & t \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)

De la igualdad de matrices resultan las siguientes ecuaciones:

\left\{ \begin{array}{ll} x+6y = 1 \\ y-2 = 0 \end{array} \right.

\left\{ \begin{array}{ll} z+6t-3 = 0 \\ t = 1 \end{array} \right.

Resolviendo ambos sistemas, obtenemos como soluciones:
x=-11 ; \quad y=2 ; \quad z=-3 ; \quad t=1

Por tanto, la matriz X que nos pedían es la siguiente:

\fbox{X = \left( \begin{array}{cc} -11 & 2 \\ -3 & 1 \end{array} \right) }

Sean las matrices A = \left( \begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 3 & 0 \end{array} \right) y B = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ 6 & 1 \end{array} \right)
– a) Calcule los valores de a y b para que A \cdot B = B \cdot A
– b) Para a=1 y b=0, resuelva la ecuación matricial X \cdot B - A = I_2