Ejercicios Probabilidad

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Se consideran dos sucesos A y B de un experimento aleatorio, tales que:
P(A)=\frac{1}{4} , P(B)=\frac{1}{3} y P(A \cup B)=\frac{1}{2}

– a) ¿Son A y B sucesos independientes? Razónese.
– b) Calcule P(A^c / B^c)

SOLUCIÓN

– a) Sabemos que:
A y B independientes \Longleftrightarrow P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
Debemos calcular P(A \cap B), para ello usamos la fórmula de la unión
P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)
\frac{1}{2} = \frac{1}{4}+\frac{1}{3}-P(A \cap B)
Ya podemos despejar P(A \cap B) obteniendo P(A \cap B)= \frac{1}{12}

Ahora estamos en condiciones de comprobar la independencia:
P(A \cap B)= \frac{1}{12}
P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12}

Como P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) entonces A y B son independientes

– b) P(A^c/B^c) = \frac{P(A^c \cap B^c)}{P(B^c)} = \frac{P(A \cup B)^c}{2/3} = \frac{1/2}{2/3} = \frac{3}{4}

En el primer paso hemos aplicado la fórmula de la Probabilidad Condicionada, y en el segundo paso hemos aplicado en el numerador las Leyes de Morgan