Expresión matricial de un sistema de ecuaciones

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Dado el siguiente sistema:
\left\{ \begin{array}{l} -z+2x=-1 \\ -x+2y-2=-3 \\ 4y+3-z=0 \end{array} \right.

– a) Escribe la matriz de los coeficientes, la matriz ampliada, la de las incógnitas y la de los términos independientes.
– b) Resuelve el sistema por el método que desees. A la vista de las soluciones, ¿de qué tipo es el sistema?

SOLUCIÓN

\left\{ \begin{array}{l} -z+2x=-1 \\ -x+2y-2=-3 \\ 4y+3-z=0 \end{array} \right.
En primer lugar debemos expresar el sistema de forma ordenada
\left\{ \begin{array}{ccccc} 2x & & -z &=&-1 \\ -x & +2y & &=&-1 \\ &4y & -z&=&-3 \end{array} \right.

Matriz de los coeficientes:
\left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & -1 \end{array} \right )

Matriz ampliada:
\left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & -1 \end{array} \right | \left. \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right )

Matriz de las incógnitas:
\left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right )

Matriz de los términos independientes:
\left ( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right )

– b) Resolvemos el sistema por el método de Gauss

\left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & -1 \end{array} \right | \left. \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right ) \begin{array}{l} \\ F_1+2F_2 \rightarrow F_2 \\ \end{array} \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 4 & -1 \end{array} \right | \left. \begin{array}{c} -1 \\ -3 \\ -3 \end{array} \right )
\left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 4 & -1 \end{array} \right | \left. \begin{array}{c} -1 \\ -3 \\ -3 \end{array} \right ) \begin{array}{l} \\ \\ F_2-F_3 \rightarrow F_3 \end{array} \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right | \left. \begin{array}{c} -1 \\ -3 \\ 0 \end{array} \right )
Se trata de un Sistema Compatible Indeterminado (infinitas soluciones) que podemos expresar así:
\left\{ \begin{array}{ccccc} 2x & & -z &=&-1 \\ & +4y & -z &=&-3 \end{array} \right.
Resolvemos el sistema:
\left. \begin{array}{r} z = t \\ 2x -t =-1 \\ 4y -t =-3 \end{array} \right \} \left. \begin{array}{r} z = t \\ x =\frac{t-1}{2} \\ y =\frac{t-3}{4} \end{array} \right \}