Inferencia Estadística

Queremos obtener la media de una variable que se distribuye normalmente con una desviación típica de 3,2. Para ello, se toma una muestra de 64 individuos obteniéndose una media de 32,5. ¿Con qué nivel de confianza se puede afirmar que la media de la población está entre 31,5 y 33,5?
Si la desviación típica de la población fuera 3, ¿Cuál es el tamaño mínimo que debería tener la muestra con la cual estimamos la media poblacional, si queremos que el nivel de confianza sea de 99\% y el error admisible no supere el valor de 0,75?

SOLUCIÓN

Datos del enunciado:
X \longrightarrow N(\mu, 3.2)
\sigma = 3.2
n = 64
\overline{x} = 32.5
confianza: ? (desconocido)
I=(31.5 ,33.5)

Normalmente nos dan el nivel de confianza, a partir del cual calculamos el nivel crítico z_c.
Como no nos dan el nivel de confianza, debemos obtenerlo a partir de z_c.
Veamos cómo calcular z_c con los datos que tenemos
Recordemos que el intervalo de confianza es:

I = \left( \overline{x}-Z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}},  \overline{x}+Z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)

Otra forma de expresarlo es:

I = \left( \overline{x}-E,  \overline{x}+E)

donde E = Z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Dado que tenemos el intervalo y la media de la muestra, podemos calcular el error:

I = \left( \overline{x}-E,  \overline{x}+E)

I = \left( 32.5-E,  32.5+E) = (31.5 ,33.5)

Veomos por tanto que E = 1
Ahora con la fórmula del Error podemos calcular z_c

E = Z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

1 = Z_c \cdot \frac{3.2}{\sqrt{64}}

z_c = \frac{8}{3.2}=2.5

Una vez que tenemos z_c miramos en la Tabla P(Z \leq z_c) y vemos que:
P(Z \leq 2.5)= 0.9938
Entonces aplicamos la fórmula:
P(Z \leq z_c) = \frac{1+nivel \:confianza}{2}
0.9938 = \frac{1+nivel \:confianza}{2}
Despejamos el nivel de confianza y obtenemos 0.9876

Por tanto, la confianza es del 98.76 \: \%

En la segunda parte del ejercicio tenemos estos datos:
\sigma = 3
n = ? (desconocido)
confianza: 99 \: \%
E = 0.75 (error máximo admisible)

Para calcular el tamaño de la muestra (n) a partir del error (E) usamos la fórmula:

E = Z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

sustituimos por los datos que tenemos

0.75 = Z_c \cdot \frac{3}{\sqrt{n}}

Sólo nos falta z_c, que se obtiene a partir de la confianza:
P(Z \leq z_c) = \frac{1+nivel \:confianza}{2}
P(Z \leq z_c) = \frac{1+0.99}{2}
P(Z \leq z_c) = 0.995
Mirando en las tablas obtenemos: z_c = 2.35

Ahora ya está todo listo para calcular "n"

0.75 = 2.575 \cdot \frac{3}{\sqrt{n}}

\sqrt{n} = \frac{2.575 \cdot 3}{0.75}

n = \left( \frac{2.575 \cdot 3}{0.75} \right)^2=106.09

Por tanto el tamaño de la muestra debe ser \fbox{n \geq 107} para que el error no supere el valor de 0.75