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Matriz inversa

Ejercicios_Resueltos matrices matriz inversa

Calcula, si existe, la inversa de las siguientes matrices
$A = \left( \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 5 & -1 \end{array} \right) \qquad B = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{array} \right)$

SOLUCIÓN

Matriz inversa

$A = \begin{pmatrix}3 & 0 \\ 5 & -1\end{pmatrix}$

$\det(A) = -3 \neq 0 \implies \exists\, A^{-1}$

Aplicando la definición A · A⁻¹ = I

$A^{-1}=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}$

$A\cdot A^{-1}=I$

$\begin{pmatrix}3 & 0 \\ 5 & -1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}3p&3q\\5p-r&5q-s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$

Igualando elemento a elemento, nos lleva a dos sistemas de ecuaciones:

Sistema 1 — primera columna:

$\begin{cases}3p = 1\\5p - r = 0\end{cases}$

$p=-\dfrac{1}{-3} = \dfrac{1}{3}\qquad r=-\dfrac{5}{-3} = \dfrac{5}{3}$

Sistema 2 — segunda columna:

$\begin{cases}3q = 0\\5q - s = 1\end{cases}$

$q=\dfrac{0}{-3} = 0\qquad s=\dfrac{3}{-3} = -1$

$A^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{1}{3} & 0 \\ \frac{5}{3} & -1\end{pmatrix}$

Método de Gauss-Jordan

Matriz ampliada A :

$\left[\begin{array}{cc|cc}3 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & -1 & 0 & 1\end{array}\right]$

$F_1 = \dfrac{1}{3}\cdot F_1$

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 5 & -1 & 0 & 1\end{array}\right]$

$F_2 = F_2 - 5\cdot F_1$

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & -1 & -\frac{5}{3} & 1\end{array}\right]$

$F_2 = -1\cdot F_2$

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{5}{3} & -1\end{array}\right]$

$A^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{1}{3} & 0 \\ \frac{5}{3} & -1\end{pmatrix}$

Matriz inversa

$A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & 4\end{pmatrix}$

det(A) = 0 → la matriz no tiene inversa.

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