Problema de optimización 4097

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Se van a imprimir carteles con forma triángulo rectángulo cuyos catetos suman 6 metros. Entre todos los posibles triángulos rectángulos que se pueden formar, optamos por aquel que tenga el área máxima. ¿Qué medidas tendría?

SOLUCIÓN

La función a maximizar es el área del triángulo

A = \frac{x \cdot y}{2}

Como x+y=6 \longrightarrow y=6-x

Expresamos el área con una sola variable:

A(x) = \frac{x \cdot (6-x)}{2} = \frac{-x^2+6x}{2} = -\frac{1}{2}x^2+3x

A^{\prime}(x) = -\frac{1}{2} \cdot 2x + 3 = -x+3

A^{\prime}(x) =0 \longrightarrow -x+3=0 \longrightarrow x=3

Comprobamos que es un máximo con la segunda derivada

A^{\prime \prime}(x) = -1

A^{\prime \prime}(3) = -1 < 0 \longrightarrow \quad MÁXIMO

Por lo tanto las dimensiones de los catetos serían 3 metros ambos