Problema programación lineal bombones

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Se desea fabricar dos tipos de cajas de bombones que llamaremos A y B. Las cajas de tipo A contienen 1 kg de chocolate y 2 kg de cacao; las de tipo B contienen 2 kg de chocolate, 1 kg de cacao y 1 kg de almendras. Por cada caja del tipo A se ganan 2 € y por cada caja del tipo B, 3 €. Se dispone de 500 kg de chocolate, 400 kg de cacao y 225 kg de almendras.
¿Cuántas cajas de cada tipo hay que fabricar para que la ganancia sea máxima?
¿A cuánto asciende esta ganancia máxima?

SOLUCIÓN

Ponemos los datos en una tabla:

\begin{array}{c|c|c|c} &A&B&Restricciones \longrightarrow Inecuaciones \\\hline &&&\\chocolate&1kg&2kg&MAX \: 500kg \longrightarrow x+2y \leq 500 \\cacao&2kg&1kg&MAX \: 400kg \longrightarrow 2x+y \leq 400 \\almendras&&1kg&MAX \: 225kg \longrightarrow y \leq 225\\&&& \\\hline cantidad&x&y& \\\hline beneficio&300&240& \\\hline F(x,y)=2x+3y&&\end{array}

Por tanto el sistema de inecuaciones a resolver es el siguiente:

\left\{ \begin{array}{l} x+2y \leq 500 \\2x+y \leq 400 \\y\leq225\\x \geq 0 \\y \geq 0\end{array}\right.

Las rectas quedarían como en la siguiente imagen

Y la región factible será:

Calculamos los vértices y se obtine el resultado que aparece en la siguiente imagen:

Aplicamos la función objetivo a todos los vértices:

F(x,y)=2x+3y
F(0,0)=2 \cdot 0+3 \cdot 0 =0
F(0,225)=2 \cdot 0+3 \cdot 225 =675
F(50,225)=2 \cdot 50+3 \cdot 225 =775
F(100,200)=2 \cdot 100+3 \cdot 200 =800
F(200,0)=2 \cdot 200+3 \cdot 0 =400

La ganancia máxima es de 800 euros y se consigue fabricando 100 cajas de tipo A y 200 cajas de tipo B