Problema programación lineal carne perros

, por dani

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Ponemos los datos en una tabla:

\begin{array}{c|c|c|c} &A&B&Restricciones \longrightarrow Inecuaciones \\\hline &&&\\carne&200g&140g&MAX \: 78kg \longrightarrow 200x+140y \leq 78000 \\harina&100g&160g&MAX \: 48kg \longrightarrow 100x+160y \leq 48000 \\&&& \\\hline cantidad&x&y& \\\hline beneficio&300&240& \\\hline F(x,y)=300x+240y&&\end{array}

Hemos pasado los kg a gramos para trabajar con las mismas unidades.

Por tanto el sistema de inecuaciones a resolver es el siguiente:

\left\{ \begin{array}{l} 200x+140y \leq 78000 \\100x+160y \leq 48000 \\x \geq 0 \\y \geq 0\end{array}\right.

Añadimos las dos últimas porque no se puede fabricar un número negativo de latas.

Simplificamos las dos primeras inecuaciones dividiendo por 10

\left\{ \begin{array}{l} 20x+14y \leq 7800 \\10x+16y \leq 4800 \\x \geq 0 \\y \geq 0\end{array}\right.

Se podría simplificar más .. pero las vamos a dejar ya como están.

Recordemos el procedimiento:

De las dos últimas inecuaciones se obtiene como solución el cuadrante de arriba-derecha.

Procedemos con las otras dos inecuaciones:

Primero dibujamos la recta 20x+14y=7800
Para dibujarla necesitamos dos puntos.

Si x=0 \longrightarrow 14y=7800 \longrightarrow y=\frac{7800}{14}
El punto es \left(0,\frac{7800}{14}\right)

Si y=0 \longrightarrow 20x=7800 \longrightarrow x=\frac{7800}{20}=390
El punto es \left(390,0 \right)

Dibujamos la recta

Averiguamos cuál es el semiplano solución y procedemos igual con la otra inecuación. Nos quedará al final la siguiente región factible:

Calculamos los vértices:

Conocemos 3 vértices: (390,0) ; (0,0) ; (0,300)

Para calcular el cuarto vértice resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de las dos rectas que pasan por ese punto:

\left\{ \begin{array}{l} 20x+14y=7800 \\10x+16y=4800\end{array}\right.

Se obtienen como soluciones x=320 ; y=100, por tanto el cuarto vértice es el punto (320 , 100)

Finalmente aplicamos la función objetivo a todos los vértices:

F(x,y)=300x+240y
F(0,0)=300 \cdot 0+240 \cdot 0 = 0
F(390,0)=300 \cdot 390+240 \cdot 0 = 117000
F(0,300)=300 \cdot 0+240 \cdot 300 = 72000
F(320,100)=300 \cdot 320+240 \cdot 100 = 120000

Por lo tanto, el máximo beneficio sería de 120000 u.m. y se obtendría fabricando 320 latas de tipo A y 100 latas de tipo B

Cierta compañía produce dos tipos de alimentos para perros, marcas A y B, respectivamente. Cada lata de la marca A contiene 200 g de carne y 100 g de harina. La marca B contiene 140 g de carne y 160 g de harina por lata.
Las instalaciones pueden manipular un máximo de 78 kg. de carne y 48 kg. de harina por hora. Si el beneficio obtenido de la marca A es de 300 u.m. (unidades monetarias) por lata y el de la marca B es de 240 u.m. por lata, ¿Cuántas latas de cada marca deben producirse por hora para maximizar el beneficio?
Averigua cómo se alcanzará el beneficio máximo.