Problema programación lineal carne perros

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Cierta compañía produce dos tipos de alimentos para perros, marcas A y B, respectivamente. Cada lata de la marca A contiene 200 g de carne y 100 g de harina. La marca B contiene 140 g de carne y 160 g de harina por lata.
Las instalaciones pueden manipular un máximo de 78 kg. de carne y 48 kg. de harina por hora. Si el beneficio obtenido de la marca A es de 300 u.m. (unidades monetarias) por lata y el de la marca B es de 240 u.m. por lata, ¿Cuántas latas de cada marca deben producirse por hora para maximizar el beneficio?
Averigua cómo se alcanzará el beneficio máximo.

SOLUCIÓN

Ponemos los datos en una tabla:

\begin{array}{c|c|c|c} &A&B&Restricciones \longrightarrow Inecuaciones \\\hline &&&\\carne&200g&140g&MAX \: 78kg \longrightarrow 200x+140y \leq 78000 \\harina&100g&160g&MAX \: 48kg \longrightarrow 100x+160y \leq 48000 \\&&& \\\hline cantidad&x&y& \\\hline beneficio&300&240& \\\hline F(x,y)=300x+240y&&\end{array}

Hemos pasado los kg a gramos para trabajar con las mismas unidades.

Por tanto el sistema de inecuaciones a resolver es el siguiente:

\left\{ \begin{array}{l} 200x+140y \leq 78000 \\100x+160y \leq 48000 \\x \geq 0 \\y \geq 0\end{array}\right.

Añadimos las dos últimas porque no se puede fabricar un número negativo de latas.

Simplificamos las dos primeras inecuaciones dividiendo por 10

\left\{ \begin{array}{l} 20x+14y \leq 7800 \\10x+16y \leq 4800 \\x \geq 0 \\y \geq 0\end{array}\right.

Se podría simplificar más .. pero las vamos a dejar ya como están.

Recordemos el procedimiento:

De las dos últimas inecuaciones se obtiene como solución el cuadrante de arriba-derecha.

Procedemos con las otras dos inecuaciones:

Primero dibujamos la recta 20x+14y=7800
Para dibujarla necesitamos dos puntos.

Si x=0 \longrightarrow 14y=7800 \longrightarrow y=\frac{7800}{14}
El punto es \left(0,\frac{7800}{14}\right)

Si y=0 \longrightarrow 20x=7800 \longrightarrow x=\frac{7800}{20}=390
El punto es \left(390,0 \right)

Dibujamos la recta

Averiguamos cuál es el semiplano solución y procedemos igual con la otra inecuación. Nos quedará al final la siguiente región factible:

Calculamos los vértices:

Conocemos 3 vértices: (390,0) ; (0,0) ; (0,300)

Para calcular el cuarto vértice resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de las dos rectas que pasan por ese punto:

\left\{ \begin{array}{l} 20x+14y=7800 \\10x+16y=4800\end{array}\right.

Se obtienen como soluciones x=320 ; y=100, por tanto el cuarto vértice es el punto (320 , 100)

Finalmente aplicamos la función objetivo a todos los vértices:

F(x,y)=300x+240y
F(0,0)=300 \cdot 0+240 \cdot 0 = 0
F(390,0)=300 \cdot 390+240 \cdot 0 = 117000
F(0,300)=300 \cdot 0+240 \cdot 300 = 72000
F(320,100)=300 \cdot 320+240 \cdot 100 = 120000

Por lo tanto, el máximo beneficio sería de 120000 u.m. y se obtendría fabricando 320 latas de tipo A y 100 latas de tipo B