Problemas resueltos con sistemas 3x3

Una empresa de transportes gestiona una flota de 60 camiones de tres modelos diferentes. Los mayores transportan una media diaria de 15000 kg. y recorren diariamente una media de 400 kilómetros. Los medianos transportan diariamente una media de 10000 kilogramos y recorren 300 kilómetros. Los pequeños transportan diariamente 5000 kilogramos y recorren 100 km. de media. Diariamente los camiones de la empresa transportan un total de 475 toneladas y recorren 12500 km. entre todos. ¿Cuántos camiones gestiona la empresa de cada modelo?

SOLUCIÓN

El primer paso es hacer una lectura rápida del problema (sin tomar datos) y averiguar lo que nos están preguntando.
¿Cuántos camiones de cada modelo?

El segundo paso es asignar incógnitas a los datos (desconocidos) que nos piden
- camiones grandes \longrightarrow x
- camiones medianos \longrightarrow y
- camiones pequeños \longrightarrow z

Tercer paso: Dado que tenemos 3 incógnitas, debemos encontrar en el enunciado tres "datos o expresiones" que nos permitan crear tres ecuaciones, de forma que podamos construir un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

En este problema concreto sería conveniente expresar todos los datos en una tabla que nos facilite su lectura:

Tipo de camiónNº de camioneskg diarioskm diarios
Grandesx15000400
Medianosy10000300
Pequeñosz5000100
TOTAL6047500012500

Con el dato "60 camiones" formamos la primera ecuación:
x+y+z = 60

Entre todos transportan 475 toneladas (475000 kg) por tanto
15000 \cdot x+ 10000 \cdot y+ 5000 \cdot z = 475000

Entre todos hacen 12500 km por tanto:
400 \cdot x+ 300 \cdot y+ 100 \cdot z = 12500

Tenemos ya creado un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:
\left.
\begin{array}{rcc}
x+y+z &=& 60 \\
15000x+ 10000y+ 5000z &=& 475000 \\
400x+ 300y+ 100z &=& 12500
\end{array}
\right\}

Antes de empezar a resolver el sistema debemos simplificar las ecuaciones (pues observamos que en las ecuaciones segunda y tercera acaban en ceros todos los términos).
En la segunda ecuación podemos dividir por 1000 (eliminar 3 ceros) y en la tercera podemos dividir por 100 (eliminar dos ceros).
Nos quedaría:
\left.
\begin{array}{rcc}
x+y+z &=& 60 \\
15x+ 10y+ 5z &=& 475 \\
4x+ 3y+ z &=& 125
\end{array}
\right\}
Aún podemos simplificar más la segunda ecuación si nos damos cuenta que todos los términos son múltiplos de 5. Podemos dividir entre 5 todos los términos de esa segunda ecuación y quedaría:
\left.
\begin{array}{rcc}
x+y+z &=& 60 \\
3x+ 2y+ z &=& 95 \\
4x+ 3y+ z &=& 125
\end{array}
\right\}

Resolvemos el sistema por cualquiera de los métodos conocidos. En este caso lo voy a resolver por sustitución:
Despejar una incógnita en una ecuación y sustituir por su valor en el resto de ecuaciones
Voy a despejar "z" en la 1ª ecuación
\fbox{z= 60-x-y}
Ahora sustituimos en las otras dos ecuaciones:
\left.
\begin{array}{rcc}
3x+ 2y+ 60-x-y &=& 95 \\
4x+ 3y+ 60-x-y &=& 125
\end{array}
\right\}
Es un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas en el que debemos agrupar términos semejantes y ordenarlo, antes de resolverlo
\left.
\begin{array}{rcc}
2x+ y &=& 35 \\
3x+ 2y&=& 65
\end{array}
\right\}

Resolvemos por sustitución
\fbox{y=35-2x}
3x + 2(35-2x) = 65
3x + 70 -4x = 65
-x = -5
\fbox{x = 5}

\fbox{y=35-2x}
y=35-2 \cdot 5 \longrightarrow \fbox{y=25}

Ahora calculamos "z" que la teníamos despejada al principio
z= 60-x-y
z= 60-5-25 \longrightarrow \fbox{z = 30}

Por tanto las soluciones del sistema son:
\fbox{x= 5 \:;\: y=25 \:;\: z = 30}

Tiene 5 camiones grandes, 25 camiones medianos y 30 camiones pequeños