Programación Lineal: mesa y 4 sillas

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En una carpintería, que consta de tres secciones, se construyen mesas y conjuntos de 4 sillas. En la primera sección se cortan las piezas que conforman los muebles, invirtiéndose una hora en el conjunto de las 4 sillas y tres horas en la mesa. En la segunda sección se realiza el ensamblaje de las piezas, empleándose 1 hora y 20 minutos, tanto para las sillas como para la mesa. Por último, en la tercera sección se pulen los muebles, tardándose 2 horas y 30 minutos en finalizar las 4 sillas y sólo 8/7 de hora en la mesa. Debido a las características de la empresa, sólo se puede trabajar un máximo de 61 horas semanales en las secciones 2ª y 3ª y 60 horas en la 1ª. Sabiendo que las ganancias por el conjunto de las 4 sillas y la mesa son respectivamente, 800 € y 600 €, organiza tú mismo cómo debiera ser la producción para que así los beneficios fuesen máximos.

SOLUCIÓN

Ponemos los datos en una tabla:

$\begin{array}{c|c|c|c} &4 Sillas& Mesas&Restricciones \longrightarrow Inecuaciones \\\hline &&&\\(1) corte&60m&180m&MAX \: 3600m \longrightarrow 60x+180y \leq 3600 \\(2)ensamble&80m&80m&MAX \: 3660m \longrightarrow 80x+80y \leq 3660 \\(3)pulido&150m&\frac{480}{7}m&MAX \: 3660m \longrightarrow 150x+\frac{480}{7}y \leq 3660\\&&& \\\hline cantidad&x&y& \\\hline ganancias&800&600& \\\hline F(x,y)=800x+600y&&\end{array}$

El sistema de inecuaciones a resolver es el siguiente:

$\left\{ \begin{array}{l} 60x+180y \leq 3600 \\80x+80y \leq 3660 \\150x+\frac{480}{7}y \leq 3660\\x \geq 0 \\y \geq 0\end{array}\right.$

Aunque no es obligatorio, vamos a simplificar las inecuaciones antes de ponernos a representarlas gráficamente.

En primer lugar multiplicamos por 7 la tercera inecuación (para quitar denominadores).
A continuación dividimos por 10 las tres primeras inecuaciones. Nos quedaría:

$\left\{ \begin{array}{l} 6x+18y \leq 360 \\8x+8y \leq 366 \\105x+48y \leq 2562\\x \geq 0 \\y \geq 0\end{array}\right.$

Aún podemos simplificar más: dividiendo por 6 la primera, dividiendo por 2 la segunda y dividiendo por 3 la tercera:

$\left\{ \begin{array}{l} x+3y \leq 60 \\4x+4y \leq 183 \\35x+16y \leq 854\\x \geq 0 \\y \geq 0\end{array}\right.$

La región factible quedaría así:

Los vértices conocidos son $(24.4,0) \qquad (0,0) \qquad (0,20)$

Para calcular el cuarto vértice resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de las dos rectas que pasan por dicho vértice.

$\left\{ \begin{array}{ll} x+3y=60 \\35x+16y=854\end{array} \right.$

Despejamos x en la primera ecuación y sustituimos en la segunda

$\fbox{x=60-3y}$

$35 \cdot (60-3y) + 16y = 854$

$-89y =-1246 \longrightarrow \fbox{y=14}$

$x=60-3 \cdot 14 \longrightarrow \fbox{x=18}$

El cuarto vértice es el punto (18,14)

Para calcular el beneficio máximo aplicamos la función objetivo a los 4 vértices

$F(24.4,0)=800 \cdot 24.4+600 \cdot 0 =19520$
$F(0,0)=800 \cdot 0+600 \cdot 0 =0$
$F(0,20)=800 \cdot 0+600 \cdot 20 =12000$
$F(18,14)=800 \cdot 18+600 \cdot 14 =22800$

El beneficio máximo sería de 22800 euros. Se obtendría fabricando 18 conjuntos de 4 sillas y 14 mesas.

SOLUCIÓN

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