Programación Lineal: mesa y 4 sillas

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En una carpintería, que consta de tres secciones, se construyen mesas y conjuntos de 4 sillas. En la primera sección se cortan las piezas que conforman los muebles, invirtiéndose una hora en el conjunto de las 4 sillas y tres horas en la mesa. En la segunda sección se realiza el ensamblaje de las piezas, empleándose 1 hora y 20 minutos, tanto para las sillas como para la mesa. Por último, en la tercera sección se pulen los muebles, tardándose 2 horas y 30 minutos en finalizar las 4 sillas y sólo 8/7 de hora en la mesa. Debido a las características de la empresa, sólo se puede trabajar un máximo de 61 horas semanales en las secciones 2ª y 3ª y 60 horas en la 1ª. Sabiendo que las ganancias por el conjunto de las 4 sillas y la mesa son respectivamente, 800 € y 600 €, organiza tú mismo cómo debiera ser la producción para que así los beneficios fuesen máximos.

SOLUCIÓN

Ponemos los datos en una tabla:

\begin{array}{c|c|c|c} &4 Sillas& Mesas&Restricciones \longrightarrow Inecuaciones \\\hline &&&\\(1) corte&60m&180m&MAX \: 3600m \longrightarrow 60x+180y \leq 3600 \\(2)ensamble&80m&80m&MAX \: 3660m \longrightarrow 80x+80y \leq 3660 \\(3)pulido&150m&\frac{480}{7}m&MAX \: 3660m \longrightarrow 150x+\frac{480}{7}y \leq 3660\\&&& \\\hline cantidad&x&y& \\\hline ganancias&800&600& \\\hline F(x,y)=800x+600y&&\end{array}

El sistema de inecuaciones a resolver es el siguiente:

\left\{ \begin{array}{l} 60x+180y \leq 3600 \\80x+80y \leq 3660 \\150x+\frac{480}{7}y \leq 3660\\x \geq 0 \\y \geq 0\end{array}\right.

Aunque no es obligatorio, vamos a simplificar las inecuaciones antes de ponernos a representarlas gráficamente.

En primer lugar multiplicamos por 7 la tercera inecuación (para quitar denominadores).
A continuación dividimos por 10 las tres primeras inecuaciones. Nos quedaría:

\left\{ \begin{array}{l} 6x+18y \leq 360 \\8x+8y \leq 366 \\105x+48y \leq 2562\\x \geq 0 \\y \geq 0\end{array}\right.

Aún podemos simplificar más: dividiendo por 6 la primera, dividiendo por 2 la segunda y dividiendo por 3 la tercera:

\left\{ \begin{array}{l} x+3y \leq 60 \\4x+4y \leq 183 \\35x+16y \leq 854\\x \geq 0 \\y \geq 0\end{array}\right.

La región factible quedaría así:

Los vértices conocidos son (24.4,0) \qquad (0,0) \qquad (0,20)

Para calcular el cuarto vértice resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de las dos rectas que pasan por dicho vértice.

\left\{ \begin{array}{ll} x+3y=60 \\35x+16y=854\end{array} \right.

Despejamos x en la primera ecuación y sustituimos en la segunda

\fbox{x=60-3y}

35 \cdot (60-3y) + 16y = 854
2100-105y + 16y = 854
-89y =-1246 \longrightarrow \fbox{y=14}

x=60-3y
x=60-3 \cdot 14 \longrightarrow \fbox{x=18}

El cuarto vértice es el punto (18,14)

Para calcular el beneficio máximo aplicamos la función objetivo a los 4 vértices

F(x,y)=800x+600y
F(24.4,0)=800 \cdot 24.4+600 \cdot 0 =19520
F(0,0)=800 \cdot 0+600 \cdot 0 =0
F(0,20)=800 \cdot 0+600 \cdot 20 =12000
F(18,14)=800 \cdot 18+600 \cdot 14 =22800

El beneficio máximo sería de 22800 euros. Se obtendría fabricando 18 conjuntos de 4 sillas y 14 mesas.