Programación lineal. Problema 4576

|

Un taller fabrica y vende dos tipos de alfombras, de seda y de lana. Para la elaboración de una unidad se necesita un trabajo manual de 2 horas para el primer tipo y de 3 horas para el segundo y de un trabajo de máquina de 2 horas para el primer tipo y de 1 hora para el segundo. Por cuestiones laborales y de planificación, se dispone de hasta 600 horas al mes para el trabajo manual y de hasta 480 horas al mes para el destinado a la máquina. Si el beneficio por unidad para cada tipo de alfombra es de 150 € y 100 €, respectivamente, ¿cuántas alfombras de cada tipo debe elaborar para obtener el máximo beneficio? ¿A cuánto asciende el mismo?

SOLUCIÓN

\begin{array}{r|c|c|l} & Alf. Seda & Alf. Lana &Restricciones \\ \hline \\ Manual & 2 \:h & 3 \: h&MAX \: 600 \:h \\ Máquina &2 \:h &1 \:h &MAX \: 480 \:h \\ \hline \\ Cantidad &x &y & \\ Beneficio & 150 & 100& \\ \hline \end{array}
Función Objetivo: F(x,y)=150x+100y

De las restricciones obtenemos las Inecuaciones:

2x+3y \leq 600
2x+y \leq 480

Además debemos recordar que las cantidades a fabricar (x e y) no pueden ser números negativos. Por tanto tenemos dos inecuaciones más:

x \geq 0
y \geq 0

Resolvemos el sistema de inecuaciones y calculamos los vértices.

Vértices: (0,0) \quad (0,200) \quad (210,60) \quad (240,0)

Finalmente aplicamos la función objetivo a cada uno de los vértices

F(x,y)=150x+100y
F(0,0)=150 \cdot 0 +100 \cdot 0 =0
F(0,200)=150 \cdot 0 +100 \cdot 200 =20000
F(210,60)=150 \cdot 210 +100 \cdot 60 =37500
F(240,0)=150 \cdot 240 +100 \cdot 0 =36000

Vemos que el máximo beneficio (37500 euros) lo obtiene en el punto (210,60), por tanto debe fabricar 210 alfombras de seda y 60 alfombras de lana.