Selectividad Andalucía 2004-1-A2

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– a) Halle la función derivada de la función f(x)=L \frac{x}{x+1} y simplifique el resultado.
– b) Obtenga las asíntotas de la función f(x)=\frac{2x+3}{3x-1}
– c) Obtenga los intervalos de concavidad y convexidad de la función f(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2

SOLUCIÓN

– a) Usamos la fórmula de la derivada del logaritmo neperiano y=Ln(u) \longrightarrow y\textsc{\char13}=\frac{u\textsc{\char13}}{u}

f(x)=L \frac{x}{x+1} \longrightarrow f\textsc{\char13}(x)=\frac{\left( \frac{x}{x+1}\right)\textsc{\char13}}{\frac{x}{x+1}}
f\textsc{\char13}(x)=\frac{ \frac{1 \cdot (x+1)-x \cdot 1}{(x+1)^2}}{\frac{x}{x+1}}= \frac{ \frac{1}{(x+1)^2}}{\frac{x}{x+1}}= \frac{1}{(x+1)^2}}:{\frac{x}{x+1}=
=\frac{1 \cdot (x+1)}{(x+1)^2 \cdot x}=\frac{1}{(x+1)x}

– b) Asíntota horizontal \fbox{y=2/3}
Asíntota vertical \fbox{x=1/3}

– c) f(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2
f\textsc{\char13}(x)=3x^2-3x
f\textsc{\char13} \textsc{\char13}(x)=6x-3
f\textsc{\char13} \textsc{\char13}(x)=0 \rightarrow 6x-3=0 \rightarrow x=\frac{1}{2}

Intervalos (-\infty, 1/2) y (1/2, +\infty)
Tomamos un punto de cada intervalo para estudiar el signo de la derivada segunda. Si es positivo, es convexa y si es negativo es cóncava

f\textsc{\char13} \textsc{\char13}(0) =6 \cdot 0 -3 = -3 por tanto Cóncava(\cap) en(-\infty, 1/2)
f\textsc{\char13} \textsc{\char13}(1) =6 \cdot 1 -3 = 3 por tanto Convexa(\cup) en(1/2, +\infty)