Selectividad Andalucía 2004-4-A2

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– a) Calcule la ecuación de la recta tangente a y=\frac{1}{x-1} en el punto de abcisa x=2
– b) ¿En qué punto de la gráfica de la función f(x)=2x^2+3x+1, la recta tangente es paralela a y=3x-5?
– c) Sea g(x)=2x^2-8x+a. Halle a para que el valor mínimo de g sea 3

SOLUCIÓN

– a) La recta tangente en x=2 viene dada por la fórmula:
y-y(2) = y\textsc{\char13}(2) (x-2)
Si la aplicamos a la función y=\frac{1}{x-1} debemos calcular antes:
y(2)=\frac{1}{2-1} =1
y\textsc{\char13}(x)=\frac{-1}{(x-1)^2} \longrightarrow y\textsc{\char13}(2)=\frac{-1}{(2-1)^2}=-1
Por tanto quedaría:

y-1 = (-1) (x-2)

– b) Nos están pidiendo un punto "a" donde la tangente es paralela a y=3x-5, es decir, donde la tangente tenga pendiente 3, es decir, un punto "a" donde la derivada valga 3.

Recordemos que:
– dos rectas son paralelas cuando tengan la misma pendiente
– la derivada es la pendiente de la recta tangente

f\textsc{\char13}(a)=3
4a+3=3
4a=0
a=0
El único punto es a=0

– c) g(x)=2x^2-8x+a
g\textsc{\char13}(x)=4x-8

Los extremos (máximos y mínimos) se encuentran en los puntos que anulan la 1ª derivada.
g\textsc{\char13}(x)=0 \longrightarrow 4x-8=0 \longrightarrow x=2
Como g\textsc{\char13}\textsc{\char13}(2)>0 tenemos que hay un mínimo en x=2
El enunciado nos pide que el valor del mínimo sea 3, entonces tiene que ser g(2)=3
2\cdot 2^2-8 \cdot 2+a=3
-8+a=3 \longrightarrow \fbox{a=11}