Selectividad Andalucía 2011-2-A2

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Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(x) , en miles de euros, viene dada en función de la cantidad, x, que se invierte, también en miles de euros, por la siguiente expresión:
R( x) = -0.001x^2 + 0.4 x + 3.5 , con x \geq 10.

- a) Calcule la rentabilidad para una inversión de 100000 euros.
- b) Deduzca y razone qué cantidad habría que invertir para obtener la máxima rentabilidad.
- c) ¿Qué rentabilidad máxima se obtendría?

SOLUCIÓN

- a) R(100) = -0.001\cdot 100^2 + 0.4 \cdot 100 + 3.5 = 33.5
Para una inversión de 100.000 euros se obtendría una rentabilidad de 33500 euros

- b) Como se trata de una parábola invertida, el vértice de la misma es un máximo.
Calculamos la abcisa(x) del vértice con la fórmula \frac{-b}{2a}
x = \frac{-0.4}{2 \cdot (-0.001)} = 200
Habría que invertir 200000 euros para obtener la máxima rentabilidad
- c) La rentabilidad máxima la obtenemos con la segunda coordenada del vértice:
C(200) = -0.001\cdot 200^2 + 0.4 \cdot 200 + 3.5 = 43.5
La máxima rentabilidad sera de 43500 euros.