Selectividad Andalucía 2011-2-A2

Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(x) , en miles de euros, viene dada en función de la cantidad, x, que se invierte, también en miles de euros, por la siguiente expresión:
R( x) = -0.001x^2 + 0.4 x + 3.5 , con x \geq 10.

 a) Calcule la rentabilidad para una inversión de 100000 euros.
 b) Deduzca y razone qué cantidad habría que invertir para obtener la máxima rentabilidad.
 c) ¿Qué rentabilidad máxima se obtendría?

SOLUCIÓN

 a) R(100) =  -0.001\cdot 100^2 + 0.4 \cdot 100 + 3.5 = 33.5
Para una inversión de 100.000 euros se obtendría una rentabilidad de 33500 euros

 b) Como se trata de una parábola invertida, el vértice de la misma es un máximo.
Calculamos la abcisa(x) del vértice con la fórmula \frac{-b}{2a}
x = \frac{-0.4}{2 \cdot (-0.001)} = 200
Habría que invertir 200000 euros para obtener la máxima rentabilidad
 c) La rentabilidad máxima la obtenemos con la segunda coordenada del vértice:
C(200) =  -0.001\cdot 200^2 + 0.4 \cdot 200 + 3.5 = 43.5
La máxima rentabilidad sera de 43500 euros.