Selectividad Andalucía 2012-3-A2

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Se considera la función f(x)=1-\frac{2}{x+2}

– a) Determine la monotonía y curvatura de la función.
– b) Calcule sus asíntotas.
– c) Represéntela gráficamente.

SOLUCIÓN

Podemos expresar la función de la forma siguiente:
f(x)=1-\frac{2}{x+2} = \frac{x+2}{x+2}-\frac{2}{x+2}=\frac{x}{x+2}
Por tanto f(x)=\frac{x}{x+2} es un hipérbola de asíntotas \fbox{y=1} y \fbox{x=-2}.
Dado que se trata de una función conocida, podemos dibujar su gráfica y a partir de ella, determinar monotonía y curvatura (de esa forma nos ahorramos hacer cálculos con derivadas).

Para representarla gráficamente, previamente dibujamos sus asíntotas y calculamos algunos puntos

– Vemos que es creciente en (-\infty,-2) y en (-2,+\infty)
– Tiene una rama convexa: (-\infty,-2)
y otra cóncava: (-2,+\infty)