Selectividad Andalucía 2013-2-A2

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En una empresa de montajes el número de montajes diarios realizados por un trabajador depende de los días trabajados según la función
M(t)=\frac{11t+17}{2t+12} \: \: \:, \: \: \: t \geq 1 ,
donde t es el número de días trabajados.

– a) ¿Cuántos montajes realiza el primer día? ¿Cuántos días necesitará para
realizar cinco montajes diarios?
– b) ¿Qué ocurriría con el número de montajes diarios si trabajara indefinidamente?
– c) El dueño de la empresa cree que el número de montajes diarios aumenta con los días de trabajo. Estudiando la función, justifique si es cierta dicha creencia.
– d) Dibuje la gráfica de la función.

SOLUCIÓN

– a) Para t=1 tenemos M(1)=\frac{11 \cdot 1+17}{2 \cdot 1+1 2} = \frac{28}{14} = 2
El primer día realiza 2 montajes

Para realizar 5 montajes diarios, M(t) = 5, por tanto \frac{11t+17}{2t+12}=5
Resolviendo la ecuación obtenemos t=43 , por tanto necesita 43 días para realizar 5 montajes diarios.

– b) Podemos responder a esta cuestión después de dibujar la gráfica. Si queremos responder sin dibujar la gráfica, calculamos el límite \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{11t+17}{2t+12} = \frac{11}{2} = 5.5
Por tanto, si trabaja indefinidamente el número de montajes diarios tenderá a ser 5.5

– c) En realidad nos están preguntando si la función es creciente para t > 1.
Si estudiamos la monotonía de la función, vemos que es creciente en todo su dominio.
Otra manera de verlo: La gráfica de la función es una hipérbola (que son siempre crecientes o siempre decrecientes). Si vemos la gráfica (en el apartado siguiente) comprobamos que es creciente, por tanto el número de montajes irá aumentando, aunque sin llegar a rebasar los 5.5 (tiene una asíntota horizontal en y=5.5)

– d)