Selectividad Andalucía 2013-4-B3

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De los sucesos independientes A y B se sabe que P(A^c)=0.4 y P(A \cup B)=0.8

– a) Halle la probabilidad de B
– b) Halle la probabilidad de que no se verifique B si se ha verificado A
– c) ¿Son incompatibles los sucesos A y B?

SOLUCIÓN

Datos que aporta el problema:

A y B independientes \Longrightarrow P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
P(A^c)=0.4 \Longrightarrow P(A)=0.6
P(A \cup B) = 0.8

– a) P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \Longrightarrow P(A \cap B) =0.6 \cdot P(B)
Tenemos dos incógnitas, por tanto usar otra fórmula, u obtener otra ecuación para formar un sistema.
Puesto que nos da la probabilidad de la unión, vamos a usar la fórmula de la unión:
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
0.8 = 0.6 + P(B) - P(A \cap B)
Volvemos a tener dos incógnitas, pero como son las mismas que antes podemos formar un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

P(A \cap B) =0.6 \cdot P(B)
0.8 = 0.6 + P(B) - P(A \cap B)

La incógnita P(A \cap B) está despejada en la primera ecuación, por tanto, podemos sustituir por su valor en la segunda ecuación y nos queda:

0.8 = 0.6 + P(B) - 0.6 \cdot P(B)

Resolviendo obtenemos que \fbox{P(B)=0.5}

– b) P(B^c/A) = \frac{P(B^c \cap A)}{P(A)}= \frac{P(A)-P(B \cap A)}{P(A)}=
=\frac{0.6-0.6 \cdot0.5}{0.6} = \fbox{0.5}

– c) P(A \cap B) = 0.3 \neq 0 \Longrightarrow Son compatibles