Selectividad Andalucía 2014-2-A1

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– a) Represente gráficamente la región definida por las siguientes inecuaciones y calcule sus vértices x+2y \leq 3 ; x-y \leq 1 ; x \geq -1 ; y \geq 0
– b) Calcule los valores máximo y mínimo de la función objetivo F(x,y)=2x+4y en la región anterior y los puntos donde se alcanzan.

SOLUCIÓN

– a) Dibujamos las rectas, calculamos el semiplano solución para cada inecuación y obtenemos:

Para dibujar bien las rectas, es necesario tomar los puntos de corte con los ejes de coordenadas (hacemos x=0 y calculamos y; hacemos y=0 y calculamos x).
Si hemos dibujado bien las rectas, ya tendremos 3 de los vértices:
A(-1,2) , C(1,0) y D(-1,0)
Para calcular el vértice B necesitamos resolver el sistema formado por las rectas x+2y=3 y x-y=1, que da como soluciones x=\frac{45}{3}; y=\frac{2}{3}.
Por tanto los vértices son A(-1,2) ,B(\frac{5}{3},\frac{2}{3}) , C(1,0) , D(-1,0)

– b) Aplicamos la función objetivo a todos los vértices:
F(-1,2) = 2 \cdot (-1) + 4 \cdot 2 = 6
F(5/3, 2/3) = 2 \cdot \frac{5}{3} + 4 \cdot \frac{2}{3} = 6
F(1,0) = 2 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = 2
F(-1,0) = 2 \cdot (-1) + 4 \cdot 0 = -2

– Observamos que el máximo es 6 y lo alcanza en los puntos A(-1,2) y B(5/3,2/3) (y por tanto en todos los puntos del segmento AB
– El valor mínimo es -2 y lo alcanza en el punto D(-1,0)