Selectividad Andalucía 2015-6-A3

Un estudio estadístico determina que la noche del 31 de diciembre conduce el 5\% de la población, el 20\% consume alcohol esa noche y el 2\% conduce y consume alcohol.
 a) ¿Son independientes los sucesos “conducir” y “consumir alcohol”?
 b) ¿Qué porcentaje de la población no conduce ni consume alcohol esa
noche?
 c) De las personas que consumen alcohol, ¿qué porcentaje conduce esa
noche?

SOLUCIÓN

Usamos los sucesos:
 C = "conducir"
 A = "consumir alcohol"

Anotamos los datos que proporciona el enunciado:

P(C)=0.05
P(A)=0.20
P(C \cap A)=0.02

a) C y A independientes \Longleftrightarrow P(C \cap A) = P(C) \cdot P(A)

P(C \cap A) \stackrel{?}{=} P(C) \cdot P(A)
0.02 \neq 0.05 \cdot 0.20
Por tanto, no son independientes

b) Nos piden P(C^c \cap A^c)
Cuando tengamos dos contrarios (en unión o intersección) aplicamos las leyes de Morgam
P(C^c \cap A^c) = P((C \cup A)^c) = 1 - P(C \cup A)
Usamos la fórmula de la union para calcular P(C \cup A)
P(C \cup A) = P(C) + P(A) - P(C \cap A)
P(C \cup A) = 0.05 + 0.20 - 0.02 = 0.23

Por tanto
P(C^c \cap A^c) = P((C \cup A)^c) = 1 - P(C \cup A) = 1 - 0.23 = 0.77
Como lo piden en porcentaje, la rspuesta es 77 \: \%

c) Nos piden P(Conducir "sabiendo que" cosume Alcohol).
Se trata de una condicionada, por tanto debemos aplicar la fórmula de la probabilidad condicionada
P(C/A) = \frac{P(C \cup A)}{P(A)} = \frac{0.02}{0.20}= 0.1
Como lo piden en porcentaje, la rspuesta es 10 \: \%